Schnittebene

Begriff und Bedeutung

Der Begriff Schnittebene hat in der Mathematik zwei Bedeutungen: Er kann eine Ebene bezeichnen, mit der ein Körper oder eine Fläche geschnitten wird, etwa bei einem Kegelschnitt. Er kann aber auch die Ebene meinen, in der eine Schnittkurve liegt. Ein wichtiges Beispiel ist die Ebene, die den Schnittkreis zweier Kugeloberflächen enthält.

Schnitt zweier Kugeloberflächen

Schneiden sich zwei Kugeloberflächen in mehr als einem Punkt, ist ihr gemeinsames Schnittgebilde ein Kreis, der Schnittkreis. Um ihn zu bestimmen, ermittelt man zunächst seine Schnittebene. Anschließend schneidet man diese Ebene mit der Verbindungsgeraden der beiden Kugelmittelpunkte. Der dabei entstehende Schnittpunkt ist der Mittelpunkt des Schnittkreises.

Bestimmung der Schnittebene

Das passende Verfahren hängt davon ab, in welcher Form die Kugeln gegeben sind. Ein in der Schulmathematik übliches Verfahren beginnt mit den Koordinatengleichungen der Kugeln:

(x − x_M)² + (y − y_M)² + (z − z_M)² = r².

Dabei sind M = (x_M, y_M, z_M) der Kugelmittelpunkt und r der Radius. Nach dem Ausmultiplizieren und Umstellen hat jede Gleichung die Form

x² + y² + z² + ax + by + cz = d.

Subtrahiert man die beiden Kugelgleichungen voneinander, heben sich die quadratischen Terme x², y² und z² auf. Übrig bleibt eine lineare Gleichung in x, y und z. Sie ist die Koordinatengleichung der Schnittebene.

Rechenbeispiel

Gegeben sind die Kugeln K₁ und K₂ mit den Mittelpunkten M₁ = (0, −2, 0) und M₂ = (−1, 0, 3) sowie den Radien r₁ = 3 und r₂ = 4. Ihre Gleichungen lauten:

K₁: x² + (y + 2)² + z² = 9, K₂: (x − 1)² + y² + (z − 3)² = 16.

Durch Ausmultiplizieren und Umstellen erhält man:

(I) x² + y² + z² + 4y = 5, (II) x² + y² + z² − 2x − 6z = 6.

Bei der Subtraktion (I) − (II) verschwinden die drei quadratischen Terme. Damit ergibt sich die Schnittebene

E: 2x + 4y + 6z = −1.