Satz von Wintner-Wielandt

Kernaussage und Voraussetzungen

Der Satz von Wintner-Wielandt ist ein Lehrsatz der Theorie linearer Operatoren, einem Gebiet der Funktionalanalysis mit engem Bezug zur theoretischen Physik. Er beantwortet für beschränkte lineare Operatoren die Frage, ob die heisenbergsche Vertauschungsrelation mit einer von null verschiedenen Konstanten gelten kann.

Gegeben sind ein normierter Vektorraum X und die normierte Algebra L(X) seiner beschränkten linearen Operatoren. Die Norm ist die Operatornorm ‖·‖, der Identitätsoperator heißt 1_X. Für zwei lineare Operatoren P und Q und einen reellen oder komplexen Skalar a bezeichnet

[P,Q]=a1_X

die heisenbergsche Vertauschungsrelation. Der Ausdruck [P,Q]=PQ−QP heißt Kommutator; er misst also, ob die Reihenfolge der beiden Operatoren einen Unterschied macht.

Der Satz lautet: Diese Gleichung ist genau dann erfüllbar, wenn a=0 ist. Dann ist [P,Q] der Nulloperator und damit PQ=QP; P und Q sind vertauschbar. Für a≠0 kann die Gleichung bei beschränkten Operatoren nicht erfüllt sein.

Ausweitung der Vertauschungsrelation

Aus [P,Q]=PQ−QP=a1_X folgt für jedes n∈N die weitergehende Identität

PQ^n−Q^nP=naQ^(n−1).

Sie wird mit vollständiger Induktion bewiesen. Für n=1 ist sie gerade die ursprüngliche Relation. Im Induktionsschritt gilt

PQ^(n+1)−Q^(n+1)P=(PQ^n−Q^nP)Q+Q^n(PQ−QP).

Setzt man die Induktionsvoraussetzung und [P,Q]=a1_X ein, so erhält man

(naQ^(n−1))Q+Q^n(a1_X)=naQ^n+aQ^n=(n+1)aQ^n.

Damit gilt die Formel für n+1 und folglich für alle natürlichen Zahlen n.

Widerspruch durch die Operatornorm

Für den eigentlichen Beweis nimmt man zum Widerspruch a≠0 an. Dann kann Q wegen der Ausgangsrelation nicht der Nulloperator sein; nach der erweiterten Relation gilt dies auch für alle benötigten Potenzen Q^n und Q^(n−1).

Aus PQ^n−Q^nP=naQ^(n−1) und den Eigenschaften der Operatornorm folgt für jedes n∈N:

n·|a|·‖Q^(n−1)‖ = ‖PQ^n−Q^nP‖ ≤ 2·‖P‖·‖Q^n‖ ≤ 2·‖P‖·‖Q^(n−1)‖·‖Q‖.

Da |a|·‖Q^(n−1)‖ nicht null ist, darf man durch diesen Ausdruck teilen. Es ergibt sich

n ≤ (2·‖P‖·‖Q‖)/|a|.

Die rechte Seite ist eine feste reelle Zahl. Die natürlichen Zahlen besitzen innerhalb der reellen Zahlen aber keine obere Schranke. Die Ungleichung kann daher nicht für jedes n gelten, was der Annahme a≠0 widerspricht. Also muss a=0 sein; dies ist gleichbedeutend mit PQ=QP.

Bedeutung für Quantenmechanik und Verallgemeinerung

Der Satz zeigt, dass die quantenmechanischen Grundoperatoren nicht sämtlich beschränkt sein können, also unstetig sein müssen. Insbesondere können die Hilberträume der Quantenmechanik nicht endlichdimensional sein.

Falls die Relation [P,Q]=a1_X überhaupt sinnvoll ist, ist außerdem nachgewiesen, dass der Skalar a stets rein imaginär sein muss, also keinen Realteil besitzt.

Die Aussage ist nicht auf Operatoren auf einem normierten Vektorraum beschränkt: Wie der Beweis zeigt, gilt sie in gleicher Weise in jeder normierten Algebra mit Einselement.