Robinson-Crusoe-Wirtschaft

Grundidee und Annahmen

Die Robinson-Crusoe-Wirtschaft ist ein Modell einer Ein-Personen-Wirtschaft mit einem Konsumenten, einem Produzenten und zwei Gütern. Es vereinfacht wirtschaftliche Zusammenhänge: Robinson ist das einzige Wirtschaftssubjekt und muss auf einer von der Außenwelt abgegrenzten Insel ohne Handel alle Güter aus vorhandenen Vorräten produzieren oder finden. Das Modell dient als Ausgangspunkt, um komplexere Wirtschaften mit mehreren Personen zu verstehen; es wird unter anderem in Finanzwissenschaft, Wachstumstheorie und Mikroökonomik verwendet.

Robinson übernimmt zugleich zwei Ziele: Als Produzent maximiert er seinen Profit, als Konsument seinen Nutzen. Die Annahmen ändern sich, sobald mit Freitag eine zweite Person hinzukommt.

Produktion und Güterwahl auf der Insel

Als Einsiedler muss Robinson arbeiten, um Fische zu fangen und Kokosnüsse zu sammeln. Bei beispielhaft 8 Arbeitsstunden täglich kann er in einer Woche entweder 20 Fische und keine Kokosnüsse oder 40 Kokosnüsse und keine Fische erzeugen. Auch Mischungen sind möglich, etwa 10 Fische und 20 Kokosnüsse.

Diese Kombinationen werden mit Fischen auf der X-Achse und Kokosnüssen auf der Y-Achse dargestellt. Punkt A steht für 20 Fische und null Kokosnüsse, Punkt B für 40 Kokosnüsse und null Fische. Die Verbindung ist die Produktionsmöglichkeiten- oder Transformationskurve. Punkte auf ihr sind realisierbar und effizient, Punkte darunter realisierbar, aber ineffizient, und Punkte darüber nicht realisierbar. Welche erreichbare Kombination Robinson wählt, hängt von seinen Präferenzen ab.

Die Steigung der Transformationskurve ist die Grenzrate der Transformation: Sie zeigt die Opportunitätskosten, also auf wie viel von einem Gut Robinson verzichten muss, um mehr vom anderen zu erhalten. Die Kurvenform hängt von Technologie, Ressourcen und Skalenerträgen ab. Bei abnehmenden Skalenerträgen ist sie zum Ursprung konkav, bei zunehmenden Skalenerträgen konvex. Bei konstanten Skalenerträgen und nur einem Produktionsinput ist sie linear.

Für die lineare Kurve gilt bei Fisch x₁ und Arbeitseinsatz A₁: x₁ = A₁/a₁. Der Verbrauchskoeffizient a₁ gibt die Arbeitszeit für eine Produktionseinheit an; im Beispiel gilt 1 Fisch = (1/20) Woche. Mit gesamtem Arbeitszeitinput [B] und dem Verbrauchskoeffizienten a₂ für Kokosnüsse gilt x₂ = ([B] − A₁)/a₂. Da A₁ = x₁a₁, folgt x₂ = ([B] − x₁a₁)/a₂ und damit x₂ = [B]/a₂ − (a₁/a₂)x₁.

Arbeit, Freizeit und Nutzen

Robinson entscheidet auch zwischen Arbeit und Freizeit. Mehr Arbeit ermöglicht mehr Kokosnüsse, verringert aber die Freizeit; mehr Freizeit bedeutet umgekehrt weniger Kokosnüsse. Sein optimaler Trade-off liegt dort, wo eine Indifferenzkurve die Gerade der erreichbaren Kombinationen tangiert.

Eine Indifferenzkurve enthält Güterkombinationen mit gleichem Nutzen; Robinson ist zwischen ihnen indifferent. Ihre Steigung entspricht der Grenzrate der Substitution (GRS), dem Austauschverhältnis der Güter. Die Nutzenfunktion lautet allgemein U = U(x₁,x₂). Aus dU = (∂U(x₁,x₂)/∂x₁)dx₁ + (∂U(x₁,x₂)/∂x₂)dx₂ = 0 wird im Artikel für die Steigung angegeben: dx₂/dx₁ = −(∂U(x₁,x₂)/∂x₁)/(∂U(x₁,x₂)/∂x₁). Die Steigung wird dabei als durch das Verhältnis der Grenznutzen bestimmt beschrieben.

Bei abnehmenden Skalenerträgen ist die Produktionsfunktion zwischen Arbeitszeit und Kokosnüssen konkav: Zusätzliche Arbeitsstunden bringen immer weniger zusätzliche Kokosnüsse. Dieses zusätzliche Ergebnis heißt Grenzprodukt der Arbeit (GPA). Im Optimum berühren sich Produktionsfunktion und Indifferenzkurve; bei gegebener Technologie gilt GRS = GPA.

Robinson als Produzent und Konsument

Um seine Doppelrolle zeitlich zu trennen, produziert Robinson an einem Tag und konsumiert erst am nächsten. Dazu gründet er einen Arbeitsmarkt und einen Kokosnussmarkt. Als alleiniger Aktieninhaber besitzt er das Unternehmen, erhält dessen Gewinne und verwendet sie als Konsument zum Kauf der erzeugten Produkte.

Als Produzent legt er am Vortag Arbeitsnachfrage und Kokosnussproduktion fest. Kokosnüsse C werden zum Preis 1 je Stück verkauft und sind ein Numéraire-Gut. Bei L Arbeitsstunden und Lohnsatz w lautet der Gewinn Π = C − wL. Die Isogewinnlinie, also alle Kombinationen mit gleichem Gewinn, lautet C = Π + wL. Der Gewinn ist dort maximal, wo Isogewinnlinie und Produktionsfunktion tangieren; folglich gilt GPA = w.

Als Konsument entscheidet Robinson über Arbeit, Freizeit und Kokosnusskonsum. Arbeit ist für ihn ein Ungut und senkt seinen Nutzen, Kokosnüsse sind ein Gut. Weil er Aktionär ist, verfügt er auch bei null Arbeit über die Grundausstattung Π am Punkt (0,Π). Mit der Steigung w ergibt sich seine Budgetgerade. Im Konsumoptimum tangiert sie die Indifferenzkurve, daher gilt GRS = w.

Im Gleichgewicht entsprechen Nachfrage und Angebot nach Kokosnüssen sowie Nachfrage und Angebot nach Arbeit einander. Es gilt GRS₍F,K₎ = w und GPA = w, zusammen also GRS₍F,K₎ = GPA. Damit können Preise für Inputs und Outputs zugleich die Gewinnmaximierung des Unternehmens und die Nutzenmaximierung des Individuums ermöglichen.

Arbeitsteilung mit Freitag

Strandet Freitag auf der Insel, können beide Fische fangen und Kokosnüsse sammeln. Freitag kann maximal 60 Fische oder 60 Kokosnüsse pro Woche erzeugen und ist damit bei beiden Gütern produktiver als Robinson. Dies ist ein absoluter Kostenvorteil. Seine Transformationskurve liegt über Robinsons; ihre flachere Steigung zeigt zudem unterschiedliche Opportunitätskosten.

Entscheidend für Spezialisierung ist der komparative Kostenvorteil: Jede Person soll das Gut produzieren, das sie relativ am billigsten herstellen kann. Für einen zusätzlichen Fisch muss Robinson auf 2 Kokosnüsse verzichten, Freitag aber nur auf eine. Freitag hat daher beim Fischfang den komparativen Vorteil. Eine Kokosnuss kostet Robinson ½ Fisch, Freitag dagegen einen Fisch; Robinson hat somit beim Kokosnusssammeln den komparativen Vorteil.

Ohne Arbeitsteilung konsumieren Robinson 10 Fische und 20 Kokosnüsse sowie Freitag 30 Fische und 30 Kokosnüsse, zusammen also 40 Fische und 50 Kokosnüsse. Bei Spezialisierung fängt Freitag 40 Fische mit 2/3 seiner Wochenarbeitszeit und sammelt zusätzlich 20 Kokosnüsse; Robinson sammelt 40 Kokosnüsse. Insgesamt entstehen 40 Fische und 60 Kokosnüsse, also 10 Kokosnüsse mehr. Werden diese fair geteilt, konsumiert Robinson 10 Fische und 25 Kokosnüsse, Freitag 30 Fische und 35 Kokosnüsse. Robinson exportiert 15 Kokosnüsse und importiert 10 Fische; Freitag importiert 15 Kokosnüsse und exportiert 10 Fische.

Bei vollständiger Spezialisierung liegen die Eckpunkte der gemeinsamen Transformationskurve bei 100 Kokosnüssen in A und 80 Fischen in B. In C produziert Freitag 60 Fische und Robinson 40 Kokosnüsse. Für mehr als 60 Fische müsste Robinson ebenfalls Fische fangen und dafür Kokosnüsse aufgeben. Die Steigung von A nach C beträgt −1 als komparative Kosten der Fischproduktion Freitags, zwischen C und B −3 als komparative Kosten Robinsons.

Pareto-Effizienz

Eine Pareto-effiziente Allokation liegt vor, wenn eine Einheit mehr eines Gutes nicht möglich ist, ohne auf einen Teil des anderen Gutes zu verzichten; sie schöpft damit die Gewinne aus. Stehen c Kokosnüsse und f Fische zur Verfügung, lassen sich an jedem Punkt der Transformationskurve in einem Edgeworth-Diagramm mögliche Konsumbündel darstellen.

Ein Pareto-effizientes Bündel liegt am Tangentialpunkt der Indifferenzkurven von Robinson und Freitag. Dort sind ihre Grenzraten der Substitution gleich: GRS_R = GRS_F. Alle solchen Pareto-optimalen Lösungen liegen auf der Kontraktkurve. Zusätzlich muss für Pareto-Effizienz die Grenzrate der Substitution der Konsumenten der Grenzrate der Transformation entsprechen: GRS_R,F = GRT_R,F, jeweils für Fische und Kokosnüsse.