Isogewinnlinie

Begriff und Bedeutung

Eine Isogewinnlinie, auch Isogewinnkurve oder Isoprofitkurve, bezeichnet in der Mikroökonomik und besonders in der Produktionstheorie alle Kombinationen aus eingesetzten Inputgütern und einem erzeugten Outputgut, die einem Unternehmen denselben Gewinn bringen. Inputgüter sind Produktionsfaktoren wie Arbeit; das Outputgut ist das hergestellte Produkt.

Das Konzept ähnelt der Isokostenlinie, die Kombinationen gleicher Kosten darstellt, und der Isonutzenlinie, die Kombinationen gleichen Nutzens beschreibt. Isogewinnlinien können unterschiedlich dargestellt werden. Häufig zeigen sie in einem Mengen-Mengen-Diagramm, welche Outputmenge bei einer bestimmten Faktoreinsatzmenge notwendig ist, um ein festgelegtes Gewinnniveau zu erreichen. Bei veränderlichen Preisen können sie stattdessen Faktoreinsatzmenge und Outputpreis miteinander verbinden. In der Oligopoltheorie werden wegen der Wechselwirkungen zwischen Unternehmen auch Darstellungen verwendet, in denen beispielsweise die Outputmenge von Unternehmen A der Outputmenge von Unternehmen B gegenübersteht.

Mathematische Definition

Die Gewinnfunktion eines Unternehmens sei

π(x, y) = R(y) − C(x).

Dabei ist R(y) die Erlösfunktion in Abhängigkeit von der Menge y des Outputgutes. C(x) ist die Kostenfunktion in Abhängigkeit vom Vektor x der Mengen von n Inputgütern. Aus der Gewinnfunktion ergibt sich implizit eine reellwertige Funktion y(x, π), die angibt, welche Outputmenge bei einem bestimmten Inputeinsatz und Gewinn erforderlich ist.

Für ein festgelegtes Gewinnniveau π̄ ist die Isogewinnfunktion definiert als

I_{π̄} := {(x, y(x, π)) | π = π̄}.

Sie enthält also genau alle Input-Output-Kombinationen, für die der Gewinn π̄ beträgt. Falls es nur einen Input gibt, also x ∈ ℝ¹, und y linear von x abhängt, spricht man auch von einer Isogewinnlinie.

Lineares Grundmodell

In einem einfachen Modell beträgt der Erlös R(y) = py. Dabei ist y die produzierte Menge und p der von außen vorgegebene Preis je Einheit des Outputgutes. Das Unternehmen verwendet nur einen Inputfaktor, beispielsweise Arbeit. Sind x die eingesetzte Arbeitsmenge und w der ebenfalls von außen vorgegebene Preis je Arbeitseinheit, lautet die Kostenfunktion C(x) = w · x.

Damit ergibt sich die Gewinnfunktion

π(x, y) = py − wx.

Auf einer Isogewinnlinie gilt stets π(x, y) = π̄. Jede darauf liegende Kombination (x, y) führt somit zu demselben festgelegten Gewinn. Durch Umstellen der Gewinnfunktion nach y erhält man

I_{π̄} = y(x, π̄) = (π̄ + wx) / p.

Diese Gleichung zeigt, welche Outputmenge y das Unternehmen bei einer bestimmten Inputmenge x produzieren muss, damit das Gewinnniveau π̄ gewahrt bleibt.

Zahlenbeispiel

Für die konkrete Gewinnfunktion

π(x, y) = 10y − 5x

gilt

y(x, π) = (π + 5x) / 10.

Beim Gewinnniveau π̄ = 20 lautet die Isogewinnlinie

I₂₀ = 2 + 0,5x.

Beim Gewinnniveau π̄ = 100 ergibt sich

I₁₀₀ = 10 + 0,5x.

Um einen Gewinn von 100 zu erzielen, kann das Unternehmen beispielsweise x = 10 Einheiten Arbeit einsetzen und y = 10 + 0,5 · 10 = 15 Einheiten produzieren. Es kann auch x = 20 Einheiten Arbeit einsetzen und y = 10 + 0,5 · 20 = 20 Einheiten produzieren. Beide Kombinationen liegen auf derselben Isogewinnlinie, denn π(x = 10, y = 15) = π(x = 20, y = 20) = 100.

Steigung und Gewinnmaximum

Im einfachen Modell π(x, y) = py − wx besitzt die Isogewinnlinie die Steigung w/p, also den Quotienten aus dem Preis des Inputgutes und dem Preis des Outputgutes. Produziert das Unternehmen ausschließlich mit Arbeit, entspricht diese Steigung dem Reallohn.

Isogewinnlinien ermöglichen außerdem eine grafische Bestimmung der gewinnmaximalen Produktion. Dazu trägt man die Produktionsfunktion des Unternehmens in ein x-y-Diagramm ein. Die Produktionsfunktion zeigt, welche Outputmenge mit einer bestimmten Inputmenge hergestellt werden kann. Aus der unendlichen Schar von Isogewinnlinien sucht man die tiefstmögliche Linie, die die Produktionsfunktion gerade noch berührt. In dieser Darstellung gilt: Je tiefer eine Isogewinnlinie liegt, desto höher ist das Gewinnniveau.

Der Berührungspunkt heißt Tangentialpunkt. Er gibt die gewinnmaximale Kombination aus Inputeinsatz und Outputmenge und damit die gewinnmaximale Produktion des Unternehmens an. Die Bedingung, dass sich Produktionsfunktion und höchstmögliche erreichbare Isogewinnlinie dort berühren, wird als Tangentialbedingung bezeichnet.