Riemannsche Zeta-Funktion

Kernidee und Definition

Die Riemannsche Zeta-Funktion ist eine komplexwertige spezielle Funktion, die in der analytischen Zahlentheorie eine zentrale Rolle spielt. Sie wird meist mit dem griechischen Buchstaben ζ bezeichnet. Ihr Definitionsbereich umfasst alle komplexen Zahlen außer 1. Für komplexe Zahlen s mit Realteil größer als 1 ist sie durch die Dirichlet-Reihe definiert:

ζ(s)=∑_{n=1}^{∞} 1/n^s = 1/1^s + 1/2^s + 1/3^s + ... für Re(s)>1.

Diese Reihe ist in diesem Bereich absolut konvergent. Für Re(s)≤1 ist diese Darstellung im Allgemeinen nicht gültig; zum Beispiel würde bei s=-1 die divergente Reihe 1+2+3+4+... entstehen. Durch analytische Fortsetzung, also eine eindeutige Erweiterung einer holomorphen Funktion auf ein größeres Gebiet, erhält man aber eine holomorphe Funktion auf C{1}. An der Stelle s=1 besitzt die Zeta-Funktion einen einfachen Pol, und es gilt lim_{s→1}(s-1)ζ(s)=1.

Ein anschauliches Beispiel ist ζ(2). Dann addiert man die Kehrwerte der Quadratzahlen: ζ(2)=1+1/4+1/9+1/16+... . Euler zeigte, dass diese Summe genau π²/6=1,644934066848... ist. Allgemeiner sind die Werte ζ(2n) für positive gerade Zahlen bekannt und rationale Vielfache von π^{2n}.

Verbindung zu Primzahlen

Die große zahlentheoretische Bedeutung der Zeta-Funktion entsteht durch das Euler-Produkt. Für Re(s)>1 gilt:

ζ(s)=∏_{p Primzahl} 1/(1-1/p^s).

Jeder Faktor entspricht einer geometrischen Reihe, und beim Ausmultiplizieren erscheinen wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung alle natürlichen Zahlen genau einmal. Deshalb gilt das Euler-Produkt als analytische Form des Fundamentalsatzes der Arithmetik.

Aus dem Euler-Produkt folgt ζ(s)≠0 für Re(s)>1. Außerdem kann man damit Euklids Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, analytisch begründen: Gäbe es nur endlich viele Primzahlen, wäre ζ(1) als endliches Produkt endlich; die harmonische Reihe divergiert aber.

Die Zeta-Funktion speichert Informationen über die Primzahlen. Riemann zeigte 1859, dass die Lage ihrer Nullstellen eng mit der Verteilung der Primzahlen zusammenhängt. Schon die Nullstellenfreiheit für Re(s)≥1 führt zum Primzahlsatz: Die n-te Primzahl p_n erfüllt

lim_{n→∞} p_n/(n log n)=1.

Hier ist log der natürliche Logarithmus. Die Primzahlfunktion π(x), die die Primzahlen kleiner als x zählt, wächst asymptotisch wie x/log(x) beziehungsweise wie der Integrallogarithmus Li(x). Riemanns explizite Formel beschreibt Korrekturterme dieser Näherung mithilfe der nichttrivialen Nullstellen.

Funktionalgleichung und spezielle Werte

Die Zeta-Funktion erfüllt eine wichtige Funktionalgleichung. Mit der Gammafunktion Γ, einer Verallgemeinerung der Fakultät, gilt als Identität meromorpher Funktionen:

ζ(1-s)=2/(2π)^s · cos(πs/2) · Γ(s) · ζ(s).

Eine häufige symmetrische Form ist: Γ(s/2)π^{-s/2}ζ(s)=Γ((1-s)/2)π^{(s-1)/2}ζ(1-s).

Diese Gleichung verbindet Werte bei s mit Werten bei 1-s. Sie erklärt viele Eigenschaften der Zeta-Funktion, besonders ihre Nullstellen außerhalb des kritischen Streifens. Riemann führte außerdem die Xi-Funktion ein, eine ganze Funktion, die im Wesentlichen aus ζ(s), Γ(s/2), π^{-s/2} und dem Faktor s(s-1) besteht und die Symmetrie ξ(s)=ξ(1-s) erfüllt.

Für positive gerade Argumente gilt Eulers Formel ζ(2n)=(-1)^{n-1} ((2π)^{2n}/(2(2n)!)) B_{2n}, wobei B_{2n} Bernoulli-Zahlen sind. Beispiele sind ζ(2)=π²/6, ζ(4)=π⁴/90 und ζ(6)=π⁶/945. Für nichtpositive ganze Zahlen erhält man über die Funktionalgleichung ζ(0)=-1/2, ζ(-1)=-1/12, ζ(-3)=1/120 und ζ(-2n)=0 für n≥1. Geschlossene Ausdrücke für positive ungerade Werte sind weitgehend unbekannt; bekannt ist aber, dass ζ(3), die Apéry-Konstante, irrational ist.

Nullstellen und Riemannsche Vermutung

Nullstellen sind Eingabewerte s, für die ζ(s)=0 gilt. Man unterscheidet triviale und nichttriviale Nullstellen. Die trivialen Nullstellen liegen bei den negativen geraden Zahlen -2,-4,-6,-8,... . Sie ergeben sich aus der Funktionalgleichung und sind einfach.

Alle übrigen Nullstellen heißen nichttrivial. Sie liegen im kritischen Streifen 0≤Re(s)≤1. Riemann gab eine asymptotische Formel für ihre Anzahl N(T) bis zur Höhe T an:

N(T) ~ (T/(2π)) log(T/(2π)) - T/(2π).

Eine genauere Form lautet N(T)=T/(2π) log(T/(2π)) - T/(2π) + O(log T).

Die Nullstellen treten wegen der Funktionalgleichung und der Spiegelung komplex konjugierter Werte symmetrisch auf: Ist ρ eine nichttriviale Nullstelle, dann sind auch 1-ρ, der komplex konjugierte Wert und 1 minus dieser konjugierte Wert Nullstellen.

Die Riemannsche Vermutung besagt, dass alle nichttrivialen Nullstellen Realteil 1/2 haben. Äquivalent ist ζ(s)≠0 für alle Re(s)>1/2. Sie ist bis heute unbewiesen und gehört zu den wichtigsten offenen Problemen der Mathematik. Wäre sie wahr, hätte die Primzahlverteilung eine besonders kleine Fehlerabweichung. Nach Lowell Schoenfeld würde dann zum Beispiel gelten:

|π(x)-Li(x)|≤ x^{1/2} log(x)/(8π), x≥2657.

Hardy bewies 1914, dass unendlich viele nichttriviale Nullstellen auf der kritischen Geraden Re(s)=1/2 liegen. Später zeigten Selberg, Levinson und Conrey, dass ein positiver Anteil, dann mehr als ein Drittel und schließlich mehr als 2/5 der Nullstellen dort liegt. Numerische Berechnungen fanden bisher nur Nullstellen auf dieser Geraden, können aber wegen der unendlich vielen Nullstellen keinen Beweis liefern.

Geschichte und Berechnung

Leonhard Euler untersuchte im 18. Jahrhundert Reihen der Form 1+1/2^n+1/3^n+... und löste um 1734 das Basler Problem mit ζ(2)=π²/6. Er entdeckte auch die Verbindung zu den Primzahlen durch das Euler-Produkt und kannte bereits eine Vorform der Funktionalgleichung, allerdings ohne modernen Beweis für komplexe Argumente.

Peter Dirichlet bewies 1838 mithilfe verwandter Funktionen den Dirichletschen Primzahlsatz: Jede arithmetische Progression ak+b mit positiven, teilerfremden a,b enthält unendlich viele Primzahlen. Riemann erkannte 1859 die Bedeutung der komplexen Fortsetzung der Zeta-Funktion und verband die Primzahlverteilung mit den nichttrivialen Nullstellen. Seine Arbeit war kurz und teilweise nur skizzenhaft, wurde aber später zur Grundlage der modernen analytischen Zahlentheorie.

Hadamard bewies 1893 eine Produktdarstellung, die die Nullstellen einbezieht. Hans von Mangoldt bewies 1895 Riemanns Hauptformel in einer heute nach Riemann und von Mangoldt benannten Form. Hadamard und Charles-Jean de La Vallée Poussin bewiesen 1896 unabhängig voneinander den Primzahlsatz, indem sie zeigten, dass ζ(s) auf Re(s)=1 keine Nullstellen besitzt.

Im 20. Jahrhundert wurde die Riemannsche Vermutung durch Hilberts Problem Nr. 8 und später durch die Millennium-Probleme des Clay Mathematics Institute besonders bekannt; für einen Beweis ist 1 Million US-Dollar ausgelobt. Computer wurden zur Überprüfung vieler Nullstellen eingesetzt: 1936 berechnete Titchmarsh 1.041 nichttriviale Nullstellen, 1953 setzte Turing dies mit einem Computer fort. Bis 2005 wurden im ZetaGrid Project die ersten 900 Milliarden Nullstellen überprüft; Xavier Gourdon berechnete mit Patrick Demichel die ersten 10 Billionen. Alle lagen auf der kritischen Geraden.

Anwendungen und Verallgemeinerungen

Die Riemannsche Zeta-Funktion hat praktische und theoretische Anwendungen. In der Kryptographie sind Primzahlen wichtig, etwa beim RSA-Verfahren. Primzahltests prüfen, ob eine Zahl n prim ist. Unter Annahme der verallgemeinerten Riemannschen Vermutung zeigte Gary L. Miller 1976 einen schnellen deterministischen Primzahltest mit O(log(n)^4 log(log(log(n)))) Schritten. Michael O. Rabin wandelte ihn 1980 in einen probabilistischen Test um, der unabhängig von der Riemannschen Vermutung funktioniert.

In der Physik treten spezielle Werte auf: ζ(3/2)≈2,61237 bei Bose-Einstein-Kondensaten und Spinwellen, ζ(2)≈1,64493 beim harmonischen Oszillator, ζ(5/2)≈1,34148 beim freien Bosonengas und ζ(4)≈1,08232 bei der Planckschen Schwarzkörperstrahlung. Zetafunktions-Regularisierung ordnet bestimmten divergenten Ausdrücken endliche Werte zu und wird in Quantenfeldtheorie und String-Theorie verwendet.

Auch in Wahrscheinlichkeit und Statistik erscheint ζ(s). Beim Zipfschen Gesetz führt die Verteilung P(X=n)=1/(n^s ζ(s)) für s>1 zur Zeta-Verteilung. In der Zahlentheorie ist die asymptotische Wahrscheinlichkeit, dass zwei ganze Zahlen teilerfremd sind, 1/ζ(2)=6/π²≈0,60792.

Die Riemannsche Zeta-Funktion ist ein Spezialfall größerer Klassen. Dirichletsche L-Funktionen verallgemeinern sie durch Dirichlet-Charaktere; die verallgemeinerte Riemannsche Vermutung betrifft ihre nichttrivialen Nullstellen. Die Hurwitzsche Zeta-Funktion erfüllt ζ(s)=ζ(s,1), die Lerchsche Zeta-Funktion enthält sie als L(0,1,s). Dedekindsche Zeta-Funktionen übertragen die Idee auf Zahlkörper; für K=Q erhält man wieder die Riemannsche Zeta-Funktion.