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Relativistischer Impuls
Als relativistischen Impuls bezeichnet man die mathematische Beschreibung des Impulses in Abhängigkeit von Masse und Geschwindigkeit unter Berücksichtigung …
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Grundidee und Bedeutung
Der relativistische Impuls beschreibt den Impuls eines Teilchens in Abhängigkeit von seiner Masse und Geschwindigkeit nach der speziellen Relativitätstheorie. Er wird wichtig, wenn sich ein Teilchen der Lichtgeschwindigkeit nähert. Bei alltäglichen Geschwindigkeiten genügt dagegen die klassische newtonsche Näherung, nach der der Impuls proportional zur Geschwindigkeit ist.
Der Impuls ist eine additive Erhaltungsgröße: Die Impulse mehrerer Teilchen können addiert werden, und der Gesamtimpuls bleibt in einem abgeschlossenen System erhalten. Die Bezeichnung „relativistisch“ bedeutet nicht, dass es eine besondere zweite Art von Impuls gibt. Sie zeigt lediglich an, dass die exakte relativistische Formel anstelle der newtonschen Näherung verwendet wird.
Berechnung des Impulses
Für ein Teilchen der Masse m und der Geschwindigkeit v⃗ gilt:
p⃗ = γmv⃗ = mv⃗/√(1 − v²/c²)
Dabei bezeichnet p⃗ den Impulsvektor, c die Lichtgeschwindigkeit und γ den Lorentz-Faktor:
γ = 1/√(1 − v²/c²)
Der Zusammenhang zwischen Impuls und Geschwindigkeit ist somit nichtlinear. Mit wachsender Geschwindigkeit nimmt γ immer stärker zu; bei Lichtgeschwindigkeit wird der Faktor unendlich. Ein Teilchen mit Masse kann daher in diesem Modell nicht durch eine endliche Impulsänderung auf Lichtgeschwindigkeit gebracht werden.
Für nichtrelativistische Geschwindigkeiten v ≪ c ist γ näherungsweise 1. Dann geht die relativistische Gleichung in die klassische Formel der newtonschen Mechanik über:
p⃗_Newton = mv⃗
Die klassische Formel ist also keine grundsätzlich andere Definition, sondern eine sehr gute Näherung für kleine Geschwindigkeiten.
Kraft und relativistische Masse
Kraft ist als Impulsübertrag pro Zeit definiert:
F⃗ = dp⃗/dt
Weil der relativistische Impuls nicht proportional zur Geschwindigkeit ist, gilt das klassische zweite newtonsche Gesetz F⃗ = m·a⃗ bei relativistischen Geschwindigkeiten nicht mehr exakt. Eine Änderung der Geschwindigkeit verändert zugleich den Lorentz-Faktor, was bei der Berechnung der Kraft berücksichtigt werden muss.
In älterer populärwissenschaftlicher Literatur wird teilweise eine „relativistische Masse“ verwendet:
m_rel = γm₀
Dabei heißt m₀ „Ruhemasse“. Wird m_rel anschließend einfach mit m bezeichnet, kann formal weiterhin p⃗ = mv⃗ geschrieben werden. Das Wort „Masse“ meint dann jedoch eine geschwindigkeitsabhängige Größe und nicht die invariante Masse. Diese Begriffsverwendung ist zwar möglich, wird in der modernen Physik aber weitgehend abgelehnt, weil sie zu Verwirrung und weiteren konzeptionellen Schwierigkeiten führt.
Beim Impuls besteht dieser Definitionsspielraum nicht: Es gibt nur einen Impuls, für den ein strenger Erhaltungssatz gilt.
Herleitung aus der Wirkung
In der relativistischen Physik müssen sowohl Impuls als auch Energie für jeden Beobachter additive Erhaltungsgrößen sein. Ihre Abhängigkeit von der Geschwindigkeit kann außerdem mithilfe der Wirkung und des Noether-Theorems hergeleitet werden. Die Wirkung lautet:
S[ℒ] = ∫ ℒ(t, x⃗(t), v⃗(t)) dt
Für ein freies Teilchen wird die Lagrange-Funktion verwendet:
ℒ(t, x⃗, v⃗) = −mc²√(1 − v²/c²)
Die Lagrange-Funktion hängt nicht vom Ort x⃗ ab. Die räumlichen Koordinaten xⁱ mit i = 1, 2, 3 sind daher zyklisch, und die Wirkung ist unter räumlichen Verschiebungen invariant. Nach dem Noether-Theorem gehört zu dieser Symmetrie eine Erhaltungsgröße: der Impuls. Seine Komponenten sind die zu x⃗ konjugierten Impulse:
pᵢ = ∂ℒ/∂vⁱ = mvⁱ/√(1 − v²/c²)
Damit ergibt sich erneut:
p⃗ = mv⃗/√(1 − v²/c²)
Energie und Hamilton-Funktion
Da die Lagrange-Funktion auch nicht ausdrücklich von der Zeit t abhängt, liefert das Noether-Theorem eine weitere Erhaltungsgröße, die Energie:
E = vⁱ(∂ℒ/∂vⁱ) − ℒ = mc²/√(1 − v²/c²)
Die Geschwindigkeit lässt sich umgekehrt als Funktion des Impulses ausdrücken:
v⃗ = p⃗/√(m² + p²/c²)
Aus dieser Beziehung folgt die Energie als Funktion der Phasenraumvariablen, also die Hamilton-Funktion:
H(t, x⃗, p⃗) = √(m²c⁴ + p²c²)
Damit erfüllen Energie und Impuls die relativistische Energie-Impuls-Beziehung. Man sagt auch, dass sie auf der Massenschale liegen.
