Totalreflexion

Grundidee und Voraussetzungen

Totalreflexion ist eine physikalische Erscheinung bei Wellen; das bekannteste Beispiel sind Lichtwellen. Sie kann auftreten, wenn Licht aus einem optisch dichteren Medium mit dem Brechungsindex n₁ auf die Grenzfläche zu einem optisch dünneren, lichtdurchlässigen Medium mit n₂ < n₁ trifft. Im zweiten Medium ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts größer. Ein typischer Übergang ist der von Glas zu Luft.

Der Einfallswinkel wird gegenüber dem Lot, also der Senkrechten auf die Grenzfläche, gemessen. Mit zunehmendem Einfallswinkel wird der gebrochene Strahl immer stärker vom Lot weg gelenkt. Beim Grenzwinkel der Totalreflexion verläuft er parallel zur Grenzfläche. Bei noch größeren Einfallswinkeln tritt das Licht nicht mehr als fortschreitende Welle in das zweite Medium über, sondern wird in das Ausgangsmedium zurückgeworfen. Dabei gilt das Reflexionsgesetz: Ausfallswinkel und Einfallswinkel sind gleich.

Obwohl die Darstellung meist Licht verwendet, kann Totalreflexion grundsätzlich bei allen Arten von Wellen auftreten.

Erklärung mit Wellenfronten

Die Strahlenoptik beschreibt den Verlauf einzelner Lichtstrahlen, erklärt den Vorgang aber nicht vollständig. Eine physikalische Erklärung liefert die Wellenoptik mithilfe des huygensschen Prinzips: Jeder Punkt, den eine Wellenfront erreicht, wird zum Ausgangspunkt einer kugel- beziehungsweise kreisförmigen Elementarwelle. Die neue Wellenfront entsteht durch Überlagerung, die sogenannte Superposition, aller Elementarwellen.

Beim Übergang aus einem optisch dichteren in ein optisch dünneres Medium breiten sich die bereits übergetretenen Elementarwellen schneller aus. Dadurch dreht sich die neue Wellenfront, und die Ausbreitungsrichtung wird vom Lot weg gebrochen. Wird die einfallende Wellenfront immer schräger zur Grenzfläche geführt, erreicht man eine Grenzsituation: Die gemeinsame Tangente der Elementarwellen verläuft entlang der Grenzfläche. Bei noch flacherem Einfall entsteht keine in das zweite Medium fortschreitende gebrochene Wellenfront mehr; die Welle wird reflektiert.

Brechungsgesetz und Grenzwinkel

Die quantitative Beschreibung erfolgt mit dem snelliusschen Brechungsgesetz:

n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂.

Dabei sind n₁ und n₂ die Brechungsindizes, θ₁ der Einfallswinkel und θ₂ der Brechungs- oder Ausfallswinkel. Für n₁ > n₂ gilt θ₂ > θ₁: Der Strahl wird vom Lot weg gebrochen.

Beim kritischen Winkel θc erreicht θ₂ den Wert 90°, sodass der gebrochene Strahl parallel zur Grenzfläche läuft. Daraus folgt:

θc = arcsin(n₂/n₁).

Diese Formel setzt n₂/n₁ ≤ 1 voraus; Totalreflexion ist in dieser üblichen Situation daher nur beim Übergang vom optisch dichteren zum optisch dünneren Medium möglich. Für θ₁ > θc würde das Brechungsgesetz einen Winkel von mehr als 90° verlangen. Statt einer Brechung findet dann Totalreflexion statt, und der reflektierte Strahl besitzt denselben Winkel zum Lot wie der einfallende Strahl.

Evaneszente Welle und unvollständige Totalreflexion

Trotz des Namens endet das elektromagnetische Feld bei der Totalreflexion nicht plötzlich an der Grenzfläche. Im optisch dünneren Medium entsteht eine evaneszente, also exponentiell abklingende Welle. Ihre Feldstärke in der Tiefe z ist

E(z) = E₀ e^(−z/dp).

Die Eindringtiefe dp ist die Strecke, nach der die Amplitude auf 1/e, also ungefähr 37 % des Ausgangswertes, gefallen ist:

dp = λ / [2πn₁ √(sin²θ₁ − (n₂/n₁)²)].

Bei Experimenten zeigt sich außerdem die Goos-Hänchen-Verschiebung: Der reflektierte Strahl erscheint in Ausbreitungsrichtung seitlich versetzt, sodass sein scheinbarer Ausgangspunkt nicht genau dem Einfallspunkt entspricht. Bei nicht linearer Polarisation können auch transversale Verschiebungen auftreten; dies heißt Imbert-Fedorov-Effekt.

Wechselwirkt die evaneszente Welle mit dem optisch dünneren Medium, können bestimmte Frequenzanteile absorbiert werden. Im reflektierten Spektrum erscheinen dann beispielsweise Absorptionslinien von Kohlenstoffdioxid und Wasserdampf. Dies wird abgeschwächte Totalreflexion oder attenuated total reflection (ATR) genannt.

Befindet sich hinter einer sehr dünnen Schicht des optisch dünneren Mediums ein drittes, wieder optisch dichteres Material, kann ein Teil der evaneszenten Welle in dieses dritte Material übergehen. Die reflektierte Intensität nimmt dadurch ab. Dieser Vorgang heißt verhinderte oder frustrierte Totalreflexion, frustrated total internal reflection (FTIR), beziehungsweise optischer Tunneleffekt. Er ist nicht mit der Fourier-Transform-Infrarotspektroskopie zu verwechseln. Die Stärke der Übertragung hängt vom Abstand zur Grenzfläche ab.

Vorkommen und technische Nutzung

In der Natur und im Alltag trägt Totalreflexion zum Funkeln geschliffener Diamanten sowie zur „weißen“ Erscheinung von Zuckerkristallen und faserigen Stoffen wie Papier bei, sofern diese nicht von Flüssigkeiten benetzt sind. Licht dringt in das Material ein und tritt häufig erst nach mehreren Totalreflexionen wieder aus. Auch an einer Wasseroberfläche können von unten betrachtete totalreflektierte Spiegelbilder entstehen.

In Umlenkprismen lässt sich Licht durch eine oder mehrere Totalreflexionen in eine gewünschte Richtung führen. Lichtwellenleiter nutzen dasselbe Prinzip: Das Licht bleibt durch Totalreflexion im optisch dichteren Faserkern, während die Umgebung beziehungsweise eine andere Glassorte einen kleineren Brechungsindex besitzt. Dadurch kann Licht nahezu verlustfrei gelenkt werden. Laut Artikel können Glasfaserkabel Informationen bis zu 20.000 Meter weit ohne Verstärkung transportieren.

Doppelbrechende Materialien besitzen von der Polarisation abhängige Brechungsindizes. Polarisatoren wie das Nicolsche Prisma und das Glan-Thompson-Prisma nutzen dies: In einem bestimmten Winkelbereich wird eine Polarisation überwiegend durchgelassen, die andere totalreflektiert. Das Prinzip eignet sich auch für polarisationsabhängige Strahlteiler.

Ein einstellbarer Strahlteiler entsteht durch verhinderte Totalreflexion, wenn zwei Prismen in einem Abstand von ungefähr einer Lichtwellenlänge angeordnet werden. Ein Teil der Welle wird reflektiert, ein anderer in das zweite Prisma übertragen. Über den Abstand lässt sich das Verhältnis einstellen. Anwendungen liegen unter anderem in der Holografie und bei optischen Weichen für Lichtwellenleiter.

Die abgeschwächte Totalreflexion wird seit Ende der 1960er Jahre in der ATR-Infrarotspektroskopie eingesetzt. Wegen der geringen Eindringtiefe lassen sich dünne und stark absorbierende Stoffe, etwa wässrige Lösungen, untersuchen. Störende Interferenzen, die bei Transmissionsmessungen dünner Schichten auftreten können, werden vermieden.

Eine medizinische Anwendung führte 1850 zur Erfindung der Ophthalmoskopie: Hermann von Helmholtz nutzte die Totalreflexion an planparallelen Platten, um die Sehrichtung des untersuchten Auges mit der Richtung des einfallenden Lichts zusammenzulegen. Ausgangspunkt war eine von Karl von Erlach beobachtete Spiegelung an einem Brillenglas, durch die die Pupille einer hineinblickenden Person aufleuchtet.

Totalreflexion von Röntgenstrahlung

Bei Röntgenstrahlung liegt der Brechungsindex aller Materialien geringfügig unter dem des Vakuums: n = 1 − δ. Die Unterschiede treten meist erst nach der siebten Nachkommastelle auf; typische Werte von δ liegen zwischen 10⁻⁹ und 10⁻⁵. δ hängt von der Wellenlänge λ, der Ordnungszahl Z, der Molmasse Mm und der Dichte ρ ab:

δ = 1 − n = [NAq²/(8π²ε₀mc²)] · (Z/Mm) · ρ · λ² = 2,70 · 10¹¹ · (Z/Mm) · ρ · λ² m/kmol < 1.

Verwendet werden NA = 6,022 · 10²⁶ kmol⁻¹, ε₀ = 8,854 · 10⁻¹² Fm⁻¹, m = 9,109 · 10⁻³¹ kg, q = 1,602 · 10⁻¹⁹ C und c = 2,998 · 10⁸ ms⁻¹. Für Silizium mit Mm = 28 kg/kmol, Z = 14 und ρ = 2.336 kg/m³ ergibt sich bei Mo-Kα-Röntgenstrahlung mit λ = 0,7107 Å der Wert 1 − nSi = 1,593 · 10⁻⁶.

Weil n < 1 ist, sind bei Röntgenstrahlung Luft oder Vakuum gegenüber Flüssigkeiten und Festkörpern das optisch dichtere Medium. Äußere Totalreflexion tritt deshalb bei streifendem Einfall vom Vakuum auf Materie auf. Bezeichnet ψ den kleinen Winkel des Strahls gegen die Oberfläche, gilt für den Grenzwinkel

ψg = √(2δ) < 0,5°,

und Totalreflexion tritt für ψ < ψg ein. Da δ proportional zu λ² ist, ist ψg proportional zur Wellenlänge λ. Für Silizium und Mo-Kα-Strahlung ergibt sich ψg,Si = 1,785 mrad = 0,102°.

Auch hier besteht im zweiten Medium eine exponentiell abklingende Welle. Ihre Eindringtiefe beträgt

d = λ / [2π√(2δ − ψ²)].

Sie ist im Röntgenbereich nahezu unabhängig von der Wellenlänge. Für Silizium wird als minimale Eindringtiefe dSi = 63,4 Å = 6,34 nm ≈ 90λ angegeben. Da die Intensität proportional zum Quadrat der elektrischen Feldamplitude ist, gilt |Et|² ∼ e^(−2x/d); die Intensität dringt somit charakteristisch nur bis d/2 ein. Diese starke Oberflächenempfindlichkeit ist die Grundlage der Diffraktometrie unter streifendem Einfall. Weitere Anwendungen sind Röntgenoptiken wie Wolter-Teleskope und Kapillaroptiken.

Absorption lässt sich durch einen komplexen Brechungsindex darstellen: N = n + ik = 1 − δ + ik = 1 − δ − iβ, also k = −β. Der Imaginärteil beziehungsweise Extinktionskoeffizient k beschreibt die Absorption und ist bei den für Röntgenstrahlung meist nahezu transparenten Materialien in der Regel kleiner als 10⁻⁶.