On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

Aufgabe und Bedeutung

Die On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS; deutsch: Online-Enzyklopädie der Zahlenfolgen) ist eine englischsprachige, im Internet durchsuchbare Datenbank für Folgen ganzer Zahlen. Sie dient als Hilfsmittel und Referenz in der mathematischen Forschung, besonders in der Experimentellen Mathematik. Viele Arbeiten, in denen Zahlenfolgen vorkommen, verweisen auf die OEIS.

Sie gilt vielen als wichtigste Referenz für Folgen ganzer Zahlen, ist weltweit die größte Datenbank dieser Art und wird täglich mehrere tausend Mal abgefragt. Ein wichtiger Grund für ihren Erfolg ist der kostenlose Zugriff auf die Daten.

Die OEIS kann auch mathematische Entdeckungen anstoßen: R. D. North bemerkte bei Partialsummen der Leibniz-Reihe für Pi Abschnitte von Dezimalstellen, die mit denen von Pi übereinstimmten. Jonathan Borwein untersuchte die Differenz und fand, dass sie nach Division durch 2 mit einer OEIS-Folge der Eulerschen Zahlen übereinstimmte. Daraus konnten Borwein und Kollegen eine exakte Formel für den Fehlerterm bei der Pi-Näherung durch die abgeschnittene Leibniz-Reihe ableiten.

Inhalte und Suche

Im Dezember 2025 enthielt die Datenbank über 390.000 Zahlenfolgen, die in der Mathematik von Interesse sind. Jeder Eintrag besitzt eine Kennnummer, einen Namen, erste Folgenglieder, Schlüsselworte, einen Offset und den Autor. Der Offset gibt an, bei welchem Index die angegebene Folge beginnt.

Je nach Eintrag kommen Kommentare, Literaturangaben, Hyperlinks, eine Formel, Programme zur Erzeugung der Folge – etwa für Mathematica, Maple, PARI oder andere Programmiersprachen – sowie Verweise auf verwandte Folgen, Erweiterungen und den Bearbeitungsstatus hinzu.

Neben Folgen ganzer Zahlen enthält die OEIS Ziffernfolgen reeller Konstanten in verschiedenen Zahlensystemen. So sind die Dezimalziffern von Pi unter A000796 und die Binärdarstellung von Pi unter A004601 verzeichnet. Gesucht werden kann sowohl mit Schlüsselwörtern als auch mit Teilfolgen. Außerdem gab es akustische und graphische Darstellungen von Folgen.

Schlüsselworte und Beiträge

Schlüsselworte beschreiben Eigenschaften oder Bearbeitungsbedarf einer Folge. „base“ bedeutet, dass die Folge von einer Zahlenbasis abhängt, zum Beispiel bei Quersummen oder Palindromen. „cons“ kennzeichnet die Dezimaldarstellung einer Zahl, etwa von Pi. „core“ steht für eine wichtige Folge wie Primzahlen oder die Fibonacci-Folge.

„hard“ bedeutet, dass die Bestimmung weiterer Folgenglieder schwierig ist; „more“ weist darauf hin, dass eine Erweiterung wünschenswert ist und wird meist mit „hard“ verbunden. „hear“ bezeichnet eine hörenswerte Folge; dafür kann die OEIS MIDI-Dateien ausgeben. „look“ verweist auf eine ästhetisch ansprechende Darstellung, beispielsweise bei A331124 und A347347.

Grundsätzlich kann jede Person zur Datenbank beitragen. Ein mehrstufiges Prüfverfahren soll die Qualität der Einträge sichern.

Speicherung eines Eintrags

OEIS-Folgen werden in einem reinen ASCII-Zeilenformat gespeichert. Jede Zeile beginnt mit einem Prozentzeichen, danach folgen ein Buchstabencode für die Art der Information, die Folgenummer und die jeweilige Angabe.

Das Beispiel A004002 enthält die Folge 1, 3, 15, 3814279. Sie beschreibt Benford-Zahlen: a(n) ist e hoch e hoch … hoch e, mit n Vorkommen von e, auf die nächste ganze Zahl gerundet. Die Formel lautet: a(n) = round(e^e^...^e), wobei e n-mal vorkommt; a(0) = 1 (= e^0). Der Eintrag enthält außerdem Kommentare zur Größe weiterer Glieder, Literaturquellen, Mathematica-Code, Verweise auf verwandte Folgen, das Schlüsselwort „nonn“, den Offset 0,2 und Neil Sloane als Autor.

Entwicklung der OEIS

Neil Sloane begann 1964, Zahlenfolgen für seine Arbeit in der Kombinatorik zu sammeln. Teile der Sammlung erschienen zunächst als Bücher: A Handbook of Integer Sequences von 1973 mit 2372 Folgen und The Encyclopedia of Integer Sequences von 1995, gemeinsam mit Simon Plouffe, mit 5488 Folgen.

Nach 1995 wuchs die Sammlung zu stark für eine erneute Buchausgabe. Bei 16.000 Einträgen stellte Sloane sie 1995 zunächst als E-Mail-Service und 1996 als Webservice bereit. Seitdem wächst die Datenbank um etwa 10.000 Einträge jährlich. Sloane hatte 2015 selbst Einträge für über 170.000 Folgen erzeugt; im selben Jahr waren etwa 4000 Nutzer registriert.

2002 übernahm eine Redaktionsgruppe einen großen Teil der Wartung. Seit 2009 hat die OEIS die Form eines Wikis mit rund 100 freiwilligen Redakteuren. Neil Sloane entscheidet weiterhin endgültig über Annahme oder Ablehnung neuer Einträge; seit Anfang 2006 wurde die Aufnahme neuer Folgen relativ restriktiv. Sloane gründete 1998 das Journal of Integer Sequences. Im Oktober 2009 gingen geistiges Eigentum und Serverbetrieb an die OEIS Foundation über.

Sloane’s Gap

Für jede natürliche Zahl n kann man zählen, in wie vielen gelisteten Folgen sie vorkommt; diese Häufigkeit heißt N_n. In einem Diagramm folgt die Punktwolke näherungsweise der Kurve N_n = 253.000.000 / n^{1,33}.

Auffällig ist eine Lücke, englisch „gap“, besonders bei Zahlen zwischen 300 und 10.000. Sie trennt scheinbar mathematisch interessante Zahlen, die in sehr vielen Folgen vorkommen, von weniger interessanten. Im oberen Teil der Kurve liegen beispielsweise fast alle, nämlich 99,7 %, der dort auftauchenden Primzahlen sowie etwa 95 % der Quadratzahlen zwischen 300 und 10.000.

Die Kurve entspricht zwar dem Erwartungswert, die Lücke ist bislang aber nicht rein mathematisch erklärt. Möglicherweise hängt sie auch mit der Beliebtheit bestimmter Zahlenfolgen in der Forschung und damit mit sozialen Faktoren zusammen.