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Periodische Folge
Eine periodische Folge ist ein Begriff aus der Mathematik. Bei dieser bestimmten Klasse von Folgen wiederholen sich die Folgeglieder nach einer bestimmten …
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Grundidee und Bedeutung
Eine periodische Folge ist eine Folge in der Mathematik, bei der sich die Folgeglieder nach einer bestimmten Periodenlänge wiederholen. Das bedeutet: Ab einem bestimmten Punkt treten dieselben Werte immer wieder in gleichem Abstand auf.
Solche Folgen sind wichtig, weil sie zeigen, dass ein zunächst fortlaufender Prozess auf ein wiederkehrendes Muster hinauslaufen kann. Das kommt besonders bei rekursiv definierten Folgen und bei Ziffernfolgen von rationalen Zahlen vor.
Formale Definition
Eine Folge a_1, a_2, a_3, ... heißt periodisch, wenn es natürliche Zahlen d und N gibt, so dass a_n = a_{n+d} für alle n > N gilt.
Dabei ist d die Länge des Abstands, nach dem sich die Werte wiederholen. Wenn N = 0 gilt, heißt die Folge reinperiodisch oder streng periodisch. Die kleinste Zahl d, für die diese Wiederholungseigenschaft gilt, wird Periodenlänge genannt.
Typisches Beispiel
Ein Beispiel ist die rekursiv definierte Folge mit a_0 = 1 und a_{n+1} = 2a_n mod 100 für n >= 0. Der Modulo-Operator gibt hier den Rest beziehungsweise in diesem Fall die letzten beiden Ziffern an.
Anschaulich ist a_n die Zahl, die aus den letzten beiden Ziffern der Dezimaldarstellung von 2^n gebildet wird. Die Folge beginnt mit 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88, 76, 52, 4 ... Danach wiederholen sich diese Werte.
Allgemeiner gilt: Ist eine Folge rekursiv durch a_{n+1} = f(a_n) für eine feste Funktion f definiert und nimmt f nur endlich viele Werte an, dann ist die Folge a_i immer periodisch.
Periodische Ziffernfolgen
Für eine feste natürliche Zahl b > 1 betrachtet man die b-adische Darstellung, also eine Stellenwertdarstellung zur Basis b. Sind p und q natürliche Zahlen, dann wird die Folge der Nachkommastellen von p/q in dieser b-adischen Darstellung schließlich periodisch.
Der Grund ist, dass die Nachkommastellen iterativ durch die Reste bei der Division bestimmt werden. Diese Reste können nur endlich viele Werte annehmen, nämlich 0, 1, ..., b - 1. Deshalb muss sich irgendwann ein Rest wiederholen, und damit wiederholen sich auch die folgenden Ziffern.
Daraus folgt: Eine reelle Zahl ist genau dann rational, wenn sie eine periodische b-adische Darstellung hat. Für b = 10 ist das die Dezimalbruchdarstellung.
