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Skalarprodukt - geometrische Interpretation | Visual X
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 63 Zeilen
- Okay.... Meine Schulzeit liegt zugegebener Maßen schon etwas zurück. Genauso wie der Zeitraum im 12ten Schuljahr, indem ich erstmals auf das Skalarprodukt zweier Vektoren gestoßen
- bin. Du weißt schon, die Rechenoperation, bei der das Produkt zweier Vektoren am Ende eine reelle Zahl ergibt. Aber was bedeutet es denn nun, wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren 10
- ergibt? Ich meine gerade in der analytischen Geometrie… in der Geometrie… da muss es doch eine Bedeutung für diese Zahlen geben? Und damit, willkommen zum heutigen Video. Okaaayyy,
- es wird etwas dauern und auch definitiv anders ablaufen, als meine üblichen Videos. Aber wenn du dabei bleibst und mitdenkst, dann sind die Ergebnisse des Skalarproduktes,
- nicht nur reelle Zahlen sondern wunderbare Informationen über die beiden Vektoren. Stell dir mal vor, du bist als Programmierer bei einer GamingFirma angestellt. Du programmierst
- ein Spiel, bei dem Bälle mit gleichen Geschwindigkeiten aus unterschiedlichen Richtungen auf eine Wand prallen können. Natürlich soll der Aufprall mit einem Soundeffekt hinterlegt
- werden. Jedes Mal, wenn ein Ball auf die Wand trifft, macht’s also einmal … . Damit es aber realistisch wird, sollte der Aufprall aus dieser Richtung hier … wesentlich leiser sein, oder?
- Ganz allgemein sollte die Lautstärke also davon abhängen, aus welcher Richtung der Ball kommt. Und jetzt bist du mal dran. Pausiere das Video und überlege, wie man das Problem mit Hilfe
- von Vektoren lösen könnte. Zwischendurch gebe ich dir immer wieder neue Hinweise. 1. Vergleiche die Geschwindigkeitsvektoren in Gelb mit dem Vektor, der die gerade Wand
- beschreibt. Dieser senkrecht zur Wand stehende rote Vektor. 2. Fällt der Ball senkrecht auf die Wand, sollte die Lautstärke am größten sein,
- da gelber und roter Vektor in dieselbe Richtung zeigen und gleich lang sind. Wenn sich die Richtung des Balls jedoch ändert, musst du dir aus dem gelben einen neuen Vektor konstruieren,
- der zwar nicht dieselbe Länge hat wie der rote, aber zumindest in die gleiche Richtung zeigt. Das geht bspw. indem du den gelben Vektor auf den roten projizierst. Der entstehende blaue
- Vektor hat wie gefordert, nicht dieselbe Länge wie der rote, zeigt aber in seine Richtung. Wenn ich heute von der geometrischen Interpretation des Skalarproduktes spreche, dann geht es um den
- Betrag, um die Länge des blauen Vektors. Seine Länge entspricht dem Wert des Skalarprodukts. Und wenn der blaue Vektor nur 0.29 Einheiten lang ist, dann sollte auch die Lautstärke
- beim Aufprall nur 29 % der maximalen Lautstärke betragen. Je steiler der Ball auf die Wand trifft, desto länger wird der blaue Pfeil und desto größer die Lautstärke. Trifft der
- Ball senkrecht auf die Wand, sollte die Lautstärke maximal sein also bei 100 % liegen. Symmetrisch geht’s auf der anderen Seite weiter. Der blaue Vektor wird nun umso kürzer,
- je flacher der Ball einfällt. Computerspielentwicklung mit Mathematik aus der Oberstufe, durch die Projektion eines Vektors auf einen anderen.
- Diese Grundidee des Skalarprodukts, die Länge des blauen Projektionsvektors, übertragen wir nun auf Vektoren im zwei- und dreidimensionalen Raum. Zunächst beschränken wir uns auf sogenannte
- Einheitsvektoren. Mit dieser speziellen Art generieren wir zuerst eine wunderbare Bedeutung für das Vorzeichen des Skalarproduktes. Wann ist das Ergebnis negativ und wann positiv?
- Anschließend fehlt nur noch eine kleine Verallgemeinerung auf beliebige Vektoren bei der wir dann auch klären werden, was die Ziffer für eine Bedeutung hat und fertig ist
- das Bild des Skalarproduktes, was ich dir heute mit auf den Weg geben möchte. Na dann zuerst die Einheitsvektoren und das Vorzeichen des Skalarproduktes. Erinnerst du dich
- noch an die 2 wichtigen Aspekte, die ein Vektor beinhaltet? Zum einen sein Betrag also seine Länge und zum anderen die Richtung, in die er zeigt. Die Einheitsvektoren dürfen sicherlich in
- unterschiedliche Richtungen zeigen, ihre Länge aber, die setzen wir jeweils auf eine Einheit. Daher der Name, man sagt auch die Vektoren sind normiert. Und nur für diese normierten Vektoren,
- nur für diese Einheitsvektoren gilt die angesprochene Interpretation mit der Länge des blauen Projektionsvektors. Hier zum Beispiel müsste man den Wert 0.5
- erhalten, da der blaue Projektionsvektor genau halb so lang ist wie der rote. Stehen die Vektoren senkrecht zueinander, wird der Projektionsvektor zum Nullvektor,
- dessen Länge bekanntlich 0 ist. Das Skalarprodukt beider Vektoren ist daher ebenfalls 0. Ist der Winkel zwischen beiden Vektoren größer als 90°, dann lässt sich der gelbe Vektor nicht
- mehr auf den roten projizieren. Die Projektion liegt jetzt in entgegengesetzter Richtung. Das Skalarprodukt ist negativ. Im Falle, dass gelb und rot Gegenvektoren sind, hat der
- Projektionsvektor wieder seine maximale Länge erreicht, durch die entgegengesetzte Richtung ist das Skalarprodukt aber nicht +1 sondern -1. Daraus kannst du schon fast ableiten, was dir das
- Vorzeichen am Ende genau sagt. Ein negatives Skalarprodukt beschreibt, dass die Vektoren a und b mehr voneinander weg als in die gleiche Richtung zeigen. Ein Skalarprodukt von 0 heißt,
- die Vektoren zeigen überhaupt nicht in gleiche Richtung, sie stehen senkrecht zueinander. Positive Skalarprodukte genau umgekehrt, die Vektoren zeigen eher in die gleiche Richtung. Für
- die Einheitsvektoren gibt es also einen Bereich, hier gleich in Rot, indem beide Vektoren in ihrer Richtung eher übereinstimmen, das Skalarprodukt ist positiv. Und es gibt einen anderen Bereich,
- indem die Richtung eher entgegengesetzt ist, was in einem negativen Skalarprodukt resultiert. Die blauen Zahlen außen herum, definieren übrigens auch, in welchem Bereich sich das Skalarprodukt
- für Einheitsvektoren bewegen kann. Die maximale Länge des Projektionsvektors erhältst du nämlich, wenn die Vektoren a und b entweder Gegenvektoren sind oder sie beide identisch sind. Maximaler Wert
- des Skalarprodukt ist daher +1, minimaler Wert -1. Bedenke aber: Das gilt nur für Einheitsvektoren. Wenn du dem Ganzen noch etwas mehr auf den Grund gehen willst,
- kommst du unmittelbar zu der folgenden Frage: Wie hängt des Skalarproduktes, die Länge des blauen Projektionsvektors denn nun genau mit dem Winkel Phi zwischen den Vektoren a und b zusammen?
- Zeigen beide Einheitsvektoren in dieselbe Richtung, ist das Skalarprodukt 1. Bei einem Winkel von 0 Grad hast du damit den Funktionswert 1. Von dort aus startend lässt sich der Wert
- des Skalarproduktes in Abhängigkeit vom Winkel nun wunderbar abtragen. Diesen Graphen da links… den kennst du! Das ist der Graph der Kosinusfunktion. Das Skalarprodukt
- der Einheitsvektoren a & b lässt sich also durch den Cos des eingeschlossenen Winkels Phi angeben. Aber das gilt eben auch nur für Einheitsvektoren. Für beliebige Vektoren, die nicht die Länge 1
- haben, müsste man noch die Längen beider Vektoren multiplizieren. Warum, wieso weshalb, zeige ich dir in 1 Minute. Mit unseren Einheitsvektoren, sind diese Längen aber jeweils 1, sodass du
- tatsächlich nur den Kosinus des Winkels und damit Werte zwischen -1 und +1 erhältst. Beeindruckendes Bild für diese Einheitsvektoren. Aber was ist denn nun mit beliebigen Vektoren?
- Holen wir die beiden Vektoren vom Anfang des Videos nochmal auf den Bildschirm, dessen Skalarprodukt, so wie wir es vorhin schon berechnet hatten, genau 10 ergab.
- Diese Formel, die wir uns gerade bei den Einheitsvektoren erarbeitet haben, die mit der Länge beider Vektoren und dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels, hat natürlich auch
- ihren geometrischen Ursprung. Aber geben wir dem Projektionsvektor erstmal einen Namen. Dieser wird meist als senkrechte Projektion des gelben Vektors b auf den roten Vektor a bezeichnet.
- Wir nennen ihn jetzt mal mit Vektor b_a. Da der Vektor b_a senkrecht auf den roten Vektor a projiziert wurde, findest du ihn im rechtwinkligen Dreieck als Ankathete zum
- eingeschlossenen Winkel wieder. Der gelbe Vektor b ist die Hypotenuse. Das Verhältnis aus beiden, also die Ankathete durch Hypotenuse, ist per Definition der Kosinus des Winkels Phi.
- Umgestellt nach der Länge des Projektionsvektors ergibt das also den Betrag von Vektor b Mal den Kosinus von Phi. Genau so, wie es auch in der Formel oben steht. Damit Multiplizierst du in
- der Formel oben die Länge des roten Vektors mit der Länge des blauen Projektionsvektors. Und da man die Multiplikation zweier Zahlen immer als Flächeninhalt eines Rechtecks deuten kann,
- entspricht das Skalarprodukt bei beliebigen Vektoren schlicht und einfach dem Flächeninhalt des von beiden Vektoren aufgespannten Rechtecks. Messen wir mal fix die Längen
- der Vektoren. Der Projektionsvektor hat die Länge 2, der rote Vektor die Länge 5 und das Produkt aus beiden ergibt 10, den Wert des Skalarproduktes vom gelben und roten Vektor.
- Das funzt natürlich auch mit anderen Vektoren. Das Skalarprodukt der Vektoren (4,3) und (-2,1) bspw. ergibt na…. -8 + 3 also -5. Der Flächeninhalt des Rechtecks ist also 5. Das Minuszeichen
- gibt dir an, dass der blaue Projektionsvektor in entgegengesetzter Richtung zum roten Vektor liegt, oder, dass der gelbe und rote Vektor eher in entgegengesetzte Richtung zeigen. Welche Vektoren
- man nun auch immer nimmt, die Interpretation ist immer dieselbe. Schaue mal was passiert, wenn beide Vektoren senkrecht zueinander stehen. Der Projektionsvektor wird zum Nullvektor, das
- Rechteck besitzt daher den Flächeninhalt Null. Das Skalarprodukt beider Vektoren ist damit auch Null. Letzte Anmerkung noch: Als ich in diesem Video hier den rechnerischen Aspekt des Skalarprodukts
- eingeführt habe, sind wir am Ende auf die Erkenntnis gestoßen, dass das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst dem Quadrat seiner Länge entspricht. Warum konnten wir im letzten Video
- noch nicht verstehen, mit dieser Interpretation als Rechteck geht das nun aber wunderbar. Wenn nämlich beide Vektoren identisch sind, dann entspricht auch der Projektionsvektor
- diesen Vektoren. Das Rechteck wird damit zu einem Quadrat, dessen Flächeninhalt, das Quadrat der Länge eines Vektors, dem Wert des Skalarproduktes entspricht. Was für eine wunderbare Geometrie…
- Nach dem heutigen Video kennst du damit also beide Gleichungen, mit denen man das Skalarprodukt zweier Vektoren bestimmen kann. Die, bei der man einfach die
- Komponenten beider Vektoren multipliziert und dann alle Produkte zusammenaddiert, ausführlich beschrieben im letzten Video. Und mit dem heutigen Video auch die, bei der man
- die Längen beider Vektoren mit dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels multipliziert. Die eigentliche Frage ist doch aber, warum diese beiden Rechenwege hier überhaupt identisch sind.
- Ein Wort darüber habe ich ja auch noch nicht verloren. Wir haben einfach mal so getan, als ob das stimmt, ohne es zu beweisen. Sei mir net bös, aber für diesen Beweis
- plane ich aktuell auch kein eigenes Video. Falls du aber wissen möchtest, warum die beiden Formeln identisch sind, dann schaue einfach mal in diesem Video
- hier vorbei. Den Link findest du auch nochmal in der Videobeschreibung. Zum Abschluss gibt’s den Projektionsvektor und das Rechteck für dich nochmal im dreidimensionalen Raum zu
- sehen. Wir sehen uns dann im nächsten Video wieder, bei dem ich dir zeige, wie man den Winkel zwischen Vektoren berechnet. Nach dem heutigen Video aber easy peasy.
Zum Nachlesen
SkalarproduktDas Skalarprodukt (auch inneres Produkt oder Punktprodukt) ist eine mathematische Verknüpfung, die zwei Vektoren eine Zahl (Skalar) zuordnet.
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