Bernoulli-Prozess

Grundidee und Definition

Ein Bernoulli-Prozess oder eine Bernoulli-Kette ist eine endliche oder abzählbar unendliche Folge stochastisch unabhängiger Bernoulli-Experimente. Bei jedem Experiment gibt es genau zwei mögliche Ausgänge: Erfolg oder Misserfolg. Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist bei allen Versuchen gleich und wird mit p ∈ [0,1] bezeichnet; die Misserfolgswahrscheinlichkeit beträgt 1 − p.

Mathematisch wird der Prozess durch unabhängige Zufallsvariablen X₁, X₂, X₃, … beschrieben. Jede Variable nimmt mit Wahrscheinlichkeit p den Wert 1 (Erfolg) und mit Wahrscheinlichkeit 1 − p den Wert 0 (Misserfolg) an. Alternativ werden die Ergebnisse als S (Erfolg) und F (Misserfolg) geschrieben. Die Ergebnismenge des Prozesses ist Ω = {S,F}^ℕ.

Wichtige Zufallsvariablen und Eigenschaften

Die Anzahl Sₙ der Erfolge nach insgesamt n Versuchen ist Sₙ = X₁ + … + Xₙ. Sie folgt einer Binomialverteilung. Für sie gelten der Erwartungswert E(Sₙ) = np und die Varianz Var(Sₙ) = np(1 − p).

Umgekehrt kann man die Anzahl Tᵣ der Versuche betrachten, die benötigt werden, um r Erfolge zu erzielen. Tᵣ folgt der negativen Binomialverteilung. Die Wartezeit auf den ersten Erfolg ist insbesondere geometrisch verteilt.

Die Anzahl der Erfolge nach n Versuchen bildet außerdem eine spezielle Markow-Kette. Beim Übergang von n nach n + 1 geht das System mit Wahrscheinlichkeit p vom Zustand k in den Zustand k + 1 über; mit Wahrscheinlichkeit 1 − p bleibt es im Zustand k.

Binomialverteilung am Würfelbeispiel

Beim Würfeln wird eine geworfene Sechs als Erfolg gewertet. Daher gilt p = 1/6 und für einen Misserfolg 1 − p = 5/6. Die Wahrscheinlichkeit, in n = 5 Würfen genau k = 2 Sechsen zu werfen, ergibt sich aus der Wahrscheinlichkeit einer festen Reihenfolge und der Anzahl möglicher Anordnungen der beiden Erfolge:

B(2|p,5) = (5 über 2) p²(1 − p)^(5 − 2).

Allgemein ist die Wahrscheinlichkeit, in n Bernoulli-Versuchen genau k Erfolge zu erzielen, P(Sₙ = k) = B(k|p,n) = (n über k) pᵏ(1 − p)^(n − k).

Die Funktion B(k|p,n) heißt Binomialverteilung. Der Binomialkoeffizient gibt an, auf wie viele Arten die k Erfolge auf die n Versuche verteilt werden können.

Bernoulli-Prozess als Irrfahrt

Bei einer eindimensionalen Zufallsbewegung bewegt sich beispielsweise ein betrunkener Fußgänger oder ein diffundierendes Teilchen auf einer Linie. In jedem Schritt geht es mit Wahrscheinlichkeit p vorwärts und mit Wahrscheinlichkeit 1 − p rückwärts. Die Position Yₙ nach n Schritten lässt sich mit dem Bernoulli-Prozess (Xₖ) darstellen als

Yₙ = Y₀ + ∑ₖ₌₁ⁿ(2Xₖ − 1) = Y₀ + 2Sₙ − n.

Für die Realisierung (Xₙ) = 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, … ergibt sich bei Y₀ = 0 die Positionenfolge (Yₙ) = 1, 0, −1, 0, 1, 2, 1, 2, 3, 2, ….