Napoleon-Dreieck – einfach erklärt

Grundidee und Definition

Ein Napoleon-Dreieck ist ein Objekt der Dreiecksgeometrie. Zu einem beliebigen Dreieck ABC werden auf seinen drei Seiten gleichseitige Dreiecke errichtet. Gleichseitig bedeutet: Alle drei Seiten sind gleich lang und alle Winkel betragen 60°.

Für das äußere Napoleon-Dreieck zeichnet man über den Seiten BC, AC und AB die gleichseitigen Dreiecke \triangle BCP_a, \triangle ACP_b und \triangle ABP_c nach außen. In jedem dieser drei gleichseitigen Dreiecke wird der geometrische Schwerpunkt, also der Flächenschwerpunkt, markiert. Diese drei Schwerpunkte heißen O_a, O_b, O_c. Verbindet man sie, entsteht das äußere Napoleon-Dreieck \triangle O_aO_bO_c.

Für das innere Napoleon-Dreieck werden die drei gleichseitigen Dreiecke nicht nach außen, sondern nach innen an das Ausgangsdreieck gezeichnet. Ihre Schwerpunkte heißen O'_a, O'_b, O'_c. Das Dreieck \triangle O'_aO'_bO'_c ist das innere Napoleon-Dreieck.

Die wichtigste Aussage lautet: Das Napoleon-Dreieck ist unabhängig von der Form des ursprünglichen Dreiecks immer gleichseitig. Diese Aussage heißt Satz von Napoleon. Der Artikel weist darauf hin, dass es keine bekannten Hinweise gibt, dass Napoleon Bonaparte diesen Satz selbst gefunden hat; erwähnt wurde er 1825 von William Rutherford in The Ladies’ Diary.

Schwerpunkte

Eine zentrale Eigenschaft betrifft die Schwerpunkte. Der Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks ABC fällt mit dem Schwerpunkt des äußeren Napoleon-Dreiecks und mit dem Schwerpunkt des inneren Napoleon-Dreiecks zusammen.

Das bedeutet: Obwohl die Napoleon-Dreiecke aus zusätzlich konstruierten gleichseitigen Dreiecken entstehen, liegt ihr gemeinsamer Schwerpunkt genau dort, wo auch der Schwerpunkt des ursprünglichen Dreiecks liegt. Der Schwerpunkt ist dabei der Punkt, an dem sich die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden; als Flächenschwerpunkt kann man ihn sich als Gleichgewichtspunkt der Dreiecksfläche vorstellen.

Flächeninhalte

Zwischen den Flächeninhalten des äußeren und inneren Napoleon-Dreiecks besteht ein einfacher Zusammenhang. Die Differenz ihrer Flächeninhalte ist gleich dem Flächeninhalt des ursprünglichen Dreiecks ABC:

Dabei bezeichnet |\triangle ...| jeweils den Flächeninhalt eines Dreiecks. Sind a, b und c die Seitenlängen des ursprünglichen Dreiecks ABC, dann werden die Flächeninhalte der beiden Napoleon-Dreiecke im Artikel mit folgenden Formeln angegeben:

|\triangle O_aO_bO_c| = \frac{\sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)}{24} + \frac{1}{2}|\triangle ABC|

|\triangle O'_aO'_bO'_c| = \frac{\sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)}{24} - \frac{1}{2}|\triangle ABC|

Daraus folgt direkt die oben genannte Differenzformel: Beim Subtrahieren heben sich die Terme mit \frac{\sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)}{24} auf, und es bleibt der Flächeninhalt von ABC.

Sechsecke und Parkettierung

Aus Napoleon-Figuren können auch Sechsecke entstehen. Wenn eine an einer Seite eines Dreiecks angefügte Figur auch an den beiden anderen Seiten angebracht wird, entsteht eine unregelmäßige sternförmige Figur mit sechs äußeren Dreiecken. Die Schwerpunkte dieser sechs Dreiecke bilden die Eckpunkte eines regelmäßigen Sechsecks PQRSTU. Regelmäßig bedeutet hier: Alle Seiten und Winkel des Sechsecks sind gleich. Die drei Diagonalen dieses Sechsecks schneiden sich im Schwerpunkt V des Napoleon-Dreiecks GHK.

Außerdem beschreibt der Artikel eine Parkettierung. Ein unregelmäßiges Sechseck setzt sich aus vier Teildreiecken der Figur AFBECD zusammen, wobei das innere Dreieck ABC insgesamt dreimal vorkommt. Mit diesem aus vier Teildreiecken bestehenden Sechseck lässt sich die Ebene parkettieren. Parkettieren bedeutet, eine Ebene lückenlos und ohne Überlappungen mit gleichen oder passend zusammengesetzten Figuren auszulegen.

Folgerung und Verallgemeinerung

Eine Folgerung betrifft ein Dreieck ABC, dessen Seiten jeweils in drei gleichlange Abschnitte unterteilt werden. Über jedem der drei mittleren Abschnitte wird außerhalb von ABC ein gleichseitiges Dreieck errichtet. Die Eckpunkte D, E und F dieser gleichseitigen Dreiecke, die nicht auf den Seiten von ABC liegen, bilden dann wieder ein gleichseitiges Dreieck.

Die Begründung nutzt den Satz von Napoleon: Die äußeren Eckpunkte der gelben gleichseitigen Dreiecke sind zugleich Schwerpunkte der Dreiecke, die über den Seiten von ABC errichtet werden. Deshalb ist das entstehende rot umrandete Dreieck genau das zu ABC gehörige Napoleon-Dreieck und damit gleichseitig.

Als Verallgemeinerung nennt der Artikel das Kiepert-Dreieck. Es entsteht, wenn man in der Definition nicht drei gleichseitige Dreiecke verwendet, sondern drei ähnliche gleichschenklige Dreiecke. Ähnlich bedeutet, dass die Dreiecke gleiche Winkel und entsprechende Seiten im gleichen Verhältnis haben; gleichschenklig bedeutet, dass zwei Seiten gleich lang sind.