Satz von Escher

Kernaussage und Bedeutung

Der Satz von Escher beschreibt eine geometrische Konstruktion, mit der sich die Ebene durch nicht-regelmäßige Sechsecke lückenlos parkettieren lässt. Eine Parkettierung ist eine vollständige Überdeckung der Ebene ohne Lücken. Das bei der Konstruktion entstehende Vieleck APBQCR heißt Escher-Sechseck.

Geometrische Konstruktion

Gegeben sind ein gleichseitiges Dreieck ABC und ein Punkt P außerhalb dieses Dreiecks. Ein gleichseitiges Dreieck besitzt drei gleich lange Seiten und drei gleich große Winkel.

Q ist ein Eckpunkt des gleichschenkligen Dreiecks QPB, dessen Winkel an der Spitze 120° beträgt. Ebenso ist R ein Eckpunkt des gleichschenkligen Dreiecks PRA, dessen Spitzenwinkel ebenfalls 120° beträgt.

Aus diesen Voraussetzungen folgt: Auch das Dreieck RQC ist gleichschenklig und hat an seiner Spitze einen Winkel von 120°. Die nacheinander verbundenen Punkte A, P, B, Q, C und R bilden das Escher-Sechseck APBQCR.

Begründung mit dem Satz von Napoleon

Für den Beweis wird die Konstruktion mithilfe des Satzes von Napoleon rückwärts betrachtet. Die Punkte A, B und C sind jeweils Mittelpunkte gleichseitiger Dreiecke, die über den Seiten PR, PQ beziehungsweise RQ des Dreiecks PQR errichtet werden; diese zusätzlichen Dreiecke sind in der Planfigur nicht dargestellt.

Damit ist ABC das gleichseitige Napoleon-Dreieck des Dreiecks PQR. Aus den Eigenschaften dieses Napoleon-Dreiecks folgt, dass die Dreiecke PRA, QPB und RQC jeweils gleichschenklig sind und an der Spitze einen Winkel von 120° besitzen.

Formen des Escher-Sechsecks

Je nach Lage des Punktes P kann das Escher-Sechseck vier verschiedene Formen annehmen:

• Liegt P innerhalb des Dreiecks AEB, ist das Escher-Sechseck konvex.

• Liegt P im Innern eines der Dreiecke DEA oder EFB, ist es konkav.

• Liegt P auf einer der sechs Seiten der Dreiecke ADE, BEF und AEB, ist es entartet.

• Liegt P außerhalb der Dreiecke ADE, BEF und AEB, ist es überschlagen, das heißt, seine Seiten kreuzen sich.