Copula (Mathematik)

Grundidee und Definition

Eine Copula ist eine Funktion, die den Zusammenhang zwischen den Randverteilungsfunktionen mehrerer Zufallsvariablen und ihrer gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreibt. Dadurch lässt sich stochastische Abhängigkeit flexibler modellieren als allein mit Korrelationskoeffizienten.

Formal ist eine Copula eine multivariate Verteilungsfunktion C: [0,1]ⁿ → [0,1], deren eindimensionale Randverteilungen auf [0,1] gleichverteilt sind. Sie erfüllt drei zentrale Bedingungen:

• Für jedes u ∈ [0,1]ⁿ gilt: min{u₁,…,uₙ} = 0 ⇒ C(u) = 0.

• C ist n-steigend. Für jedes Hyperrechteck R = ∏ᵢ₌₁ⁿ[xᵢ,yᵢ] ⊆ [0,1]ⁿ ist das C-Volumen nicht negativ: V_C(R) := ∑_{z ∈ ∏ᵢ₌₁ⁿ{xᵢ,yᵢ}} (−1)^{N(z)} C(z) ≥ 0, wobei N(z) := |{k | zₖ = xₖ}|.

• Die eindimensionalen Randverteilungen sind uniform: Sind alle Komponenten von u außer uⱼ gleich 1, so gilt C(u) = uⱼ.

Die Gleichverteilung der Ränder ist sinnvoll, weil für beliebig verteilte Zufallsvariablen X₁,…,Xₙ mit stetigen Verteilungsfunktionen F_{Xᵢ} die transformierten Zufallsvariablen F_{Xᵢ}(Xᵢ) auf [0,1] gleichverteilt sind. So können die einzelnen Randverteilungen von der Abhängigkeitsstruktur getrennt betrachtet werden.

Satz von Sklar und allgemeine Schranken

Der Satz von Sklar stellt die grundlegende Verbindung zwischen einer gemeinsamen Verteilung, ihren Randverteilungen und einer Copula her. Dabei sei ℝ̄ := ℝ ∪ {−∞,+∞}. Ist F: ℝ̄ⁿ → [0,1] eine n-dimensionale Verteilungsfunktion mit eindimensionalen Randverteilungen F₁,…,Fₙ, dann existiert eine n-dimensionale Copula C, sodass für alle (x₁,…,xₙ) ∈ ℝ̄ⁿ gilt:

F(x₁,x₂,…,xₙ) = C(F₁(x₁),…,Fₙ(xₙ)).

Sind alle Fᵢ stetig, ist diese Copula eindeutig. Der Satz ermöglicht es somit, die Eigenschaften der einzelnen Zufallsvariablen durch ihre Randverteilungen und ihre gegenseitige Abhängigkeit durch C getrennt zu modellieren.

Für jede n-variate Copula gelten die Fréchet-Hoeffding-Schranken:

max{∑ᵢ₌₁ⁿuᵢ + 1 − n, 0} =: W(u₁,…,uₙ) ≤ C(u₁,…,uₙ) ≤ min{u₁,…,uₙ} =: M(u₁,…,uₙ).

Die obere Schranke M ist für jedes n selbst eine Copula. Die untere Schranke W ist dagegen nur für n = 2 eine Copula.

Anwendungsgebiete

Copulae werden verwendet, um die Art der stochastischen Abhängigkeit zwischen Zufallsvariablen zu untersuchen oder eine gewünschte Abhängigkeit gezielt zu modellieren.

In der Kreditrisikoanalyse helfen sie dabei, Aussagen über einen gehäuften Bankrott mehrerer Schuldner innerhalb eines Anleihenportfolios zu treffen. Im Versicherungswesen werden damit gemeinsam auftretende Schäden verschiedener Schadenarten erfasst, die ein besonderes finanzielles Risiko bilden können. Ein Beispiel ist der Zusammenhang zwischen Sturm- und Hochwasserschäden.

Weitere wichtige Anwendungen liegen in der Finanzmathematik. Dazu gehören die Modellierung operationeller Risiken und die Modellierung von Abhängigkeiten zwischen unterschiedlichen Risikoarten, etwa zwischen Kredit- und Marktrisiko oder zwischen Versicherungs- und Kreditrisiko.

Wichtige Beispiele

Eine empirische Copula wird unmittelbar aus beobachteten Daten geschätzt.

Die einfachste theoretische Form ist die Unabhängigkeits- oder Produktcopula:

C(u₁,…,uₙ) = ∏ᵢ₌₁ⁿuᵢ = u₁ · … · uₙ.

Sie beschreibt stochastisch unabhängige Zufallsvariablen U₁,…,Uₙ, die gemäß C verteilt sind: (U₁,…,Uₙ) ∼ C.

Die obere Fréchet-Hoeffding-Schranke

C(u₁,…,uₙ) = minᵢ₌₁,…,ₙ uᵢ

beschreibt perfekte positive stochastische Abhängigkeit, also totale positive Korrelation. Im bivariaten Fall beschreibt die untere Schranke

C(u₁,u₂) = max{u₁ + u₂ − 1,0}

eine perfekte negative stochastische Abhängigkeit zweier Zufallsvariablen.

Die Normal- oder Gauß-Copula wird mithilfe der Verteilungsfunktion F der Normalverteilung definiert:

C(u₁,u₂) = F₂(F⁻¹(u₁),F⁻¹(u₂),ρ).

Dabei ist F₂(·,·,ρ) die bivariate Verteilungsfunktion zweier standardnormalverteilter Zufallsvariablen mit dem Korrelationskoeffizienten ρ. Bei ρ = 0,5 zeigt eine Simulation bereits eine leichte Konzentration der Punkte entlang der Winkelhalbierenden.

Die Gumbel-Copula lautet

C_λ(u₁,u₂) = exp(−((−ln u₁)^λ + (−ln u₂)^λ)^{1/λ}),

wobei der Parameter λ ≥ 1 fest gewählt wird. Für λ > 1 häufen sich simulierte Punkte insbesondere in der Nähe von (1,1); als Beispiel nennt der Artikel eine Simulation mit λ = 2 und 1500 Punkten.

Archimedische Copulae

Archimedische Copulae bilden eine häufig verwendete Copulaklasse. Ausgangspunkt ist eine stetige, streng monoton fallende Funktion φ: [0,1] → [0,∞] mit φ(1) = 0. Ihre Pseudo-Inverse ist definiert durch

φ^{[−1]}(t) = φ⁻¹(t) für 0 ≤ t ≤ φ(0), und φ^{[−1]}(t) = 0 sonst.

Damit wird die bivariate Funktion

C(u,v) := φ^{[−1]}(φ(u) + φ(v))

definiert. C ist genau dann eine Copula, wenn φ konvex ist. In diesem Fall heißt φ Erzeuger oder Generator der Copula. Jede solche Copula ist symmetrisch: C(u,v) = C(v,u) für alle u,v ∈ [0,1].

Bei der Gumbel-Copula ist der Erzeuger φ(t) = (−ln t)^λ mit λ ≥ 1. Daraus folgen φ^{[−1]}(t) = exp(−t^{1/λ}) und die zuvor angegebene Formel für C_λ(u,v).

Die Clayton-Copula besitzt den Erzeuger φ(t) = (1/Θ)(t^{−Θ} − 1) mit Θ > 0. Es gilt φ^{[−1]}(t) = (Θ · t + 1)^{−1/Θ}; damit ergibt sich

C(u,v) = (u^{−Θ} + v^{−Θ} − 1)^{−1/Θ}.

Für die Frank-Copula lautet der Erzeuger

φ(t) = −ln((e^{−Θ·t} − 1)/(e^{−Θ} − 1))

mit Θ > 0. Archimedische Copulae werden oft eingesetzt, weil sich aus ihnen sehr einfach Zufallszahlen erzeugen lassen.

Extremwertcopulae und T-Normen

Eine Copula C heißt Extremwertcopula, wenn sie die Copula einer multivariaten Extremwertverteilung ist. Das bedeutet: Es gibt eine multivariate Extremwertverteilung G mit univariaten Rändern G₁,…,Gₙ, sodass

C(u₁,…,uₙ) = G(G₁⁻¹(u₁),…,Gₙ⁻¹(uₙ)).

Eine Copula C ist genau dann eine Extremwertcopula, wenn für 0 ≤ u = (u₁,…,uₙ)ᵀ ≤ 1 und t > 0 gilt:

C(u₁ᵗ,…,uₙᵗ) = Cᵗ(u₁,…,uₙ).

Ist C eine Extremwertcopula und sind G₁,…,Gₙ univariate Extremwertverteilungen, dann ist

G((x₁,…,xₙ)ᵀ) := C(G₁(x₁),…,Gₙ(xₙ))

eine multivariate Extremwertverteilung.

Außerdem besteht ein Zusammenhang zu T-Normen: Jede bivariate Copula, die assoziativ und kommutativ ist, ist eine T-Norm. Die bivariate Produktcopula sowie die beiden bivariaten Fréchet-Hoeffding-Schranken sind zugleich T-Normen.