Monotone Funktionenfolge

Grundidee

Eine monotone Funktionenfolge ist eine Folge reellwertiger Funktionen, bei der die Funktionswerte für jedes einzelne Argument geordnet verlaufen. Das bedeutet: Setzt man ein festes x aus dem Definitionsbereich D ein, dann bilden die Werte f_k(x) selbst eine monotone Zahlenfolge.

Solche Folgen sind wichtig in der Analysis, weil sie bei Konvergenzaussagen und in der Integrationstheorie als Voraussetzung auftreten. Sie sind ein spezieller Monotoniebegriff und können als Spezialfall einer monotonen Abbildung verstanden werden.

Definition

Gegeben seien reellwertige Funktionen f_k: D \mapsto \mathbb{R} für k \in \mathbb{N}. Die Funktionenfolge (f_k)_{k \in \mathbb{N}} heißt monoton wachsend auf D, wenn für alle x \in D gilt:

f_k(x) \leq f_{k+1}(x).

Sie heißt monoton fallend auf D, wenn für alle x \in D gilt:

f_k(x) \geq f_{k+1}(x).

Sie heißt monoton, wenn sie entweder monoton wachsend oder monoton fallend ist. Entscheidend ist dabei, dass die Ungleichung für jedes x im gesamten betrachteten Bereich D gelten muss.

Beispiel mit Potenzen

Ein Beispiel ist die Funktionenfolge f_k(x)=x^k. Ihr Monotonieverhalten hängt vom betrachteten Definitionsbereich ab.

Auf D=[0,1] ist die Folge monoton fallend. Denn f_{k+1}(x) \leq f_k(x) ist äquivalent zu f_{k+1}(x)-f_k(x) \leq 0. Es gilt:

x^{k+1}-x^k=x^k(x-1) \leq 0.

Für x \in [0,1] liegt x^k stets in [0,1], und x-1 ist kleiner als null. Daher ist die Funktionenfolge auf [0,1] monoton fallend und damit monoton.

Unterschiedliche Bereiche

Auf [1,\infty) ist dieselbe Funktionenfolge f_k(x)=x^k monoton wachsend. Dort ist x^k stets größer als 1, und x-1 ist positiv. Deshalb gilt:

x^{k+1}-x^k=x^k(x-1) \geq 0.

Auf [0,\infty) ist die Folge dagegen nicht monoton, weil sie auf [0,1] fallend und auf [1,\infty) wachsend ist. Auf dem größeren Intervall gibt es also kein einheitliches Monotonieverhalten.

Auf [-1,0] ist die Folge ebenfalls nicht monoton. Für x \neq 0 wechselt x^k je nach k das Vorzeichen:

x^k \begin{cases}\geq 0 & \text{falls } k \text{ gerade} \ \leq 0 & \text{falls } k \text{ ungerade}\end{cases}

Dadurch wechselt x^k-x^{k+1} ständig das Vorzeichen, sodass keine Monotonie gelten kann.

Verwendung in der Analysis

Monotone Funktionenfolgen werden in mehreren Sätzen der Analysis verwendet. Sie treten zum Beispiel als Voraussetzung beim Satz von Dini auf.

Besonders wichtig sind sie in der Integrationstheorie, unter anderem beim Satz von der monotonen Konvergenz und beim Beweis des Lemmas von Fatou.