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Mischungskreuz
Das Mischungskreuz (auch Andreaskreuz genannt) ist ein Rechenschema für das Mengenverhältnis zweier Zutaten einer Mischung, also die Gewichtsfaktoren im …
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Grundidee und Einsatzbereich
Das Mischungskreuz, auch Andreaskreuz genannt, ist ein Rechenschema, mit dem das Mengenverhältnis zweier Zutaten für einen gewünschten Mittelwert bestimmt wird. Es liefert damit die Gewichtsfaktoren eines gewichteten arithmetischen Mittels.
Die Gehalte oder Werte der beiden Zutaten stehen links oben und links unten, der gewünschte Wert der Mischung dazwischen. Rechts werden über Kreuz die Differenzen zwischen dem Zielwert und den Ausgangswerten gebildet. Ihre Zahlenwerte geben das Verhältnis der benötigten Teilmengen an. Von einer Zutat wird umso mehr benötigt, je weiter der Wert der jeweils anderen Zutat vom angestrebten Mittelwert entfernt ist.
Häufig wird mit Massenanteilen gerechnet. Seltener geht es um die spezifische Partialstoffmenge. Auch eine gewünschte Mischungstemperatur kann bestimmt werden; dafür gilt die Richmannsche Mischungsregel.
Das Verfahren ist nur geeignet, wenn die betrachtete Größe linear gemittelt werden darf. Konzentrationsangaben können deshalb nur unmittelbar verwendet werden, wenn das Volumen beim Mischen konstant bleibt. Das ist beispielsweise bei idealen Gasen unter konstantem Druck oder bei stark verdünnten Lösungen mit demselben Lösungsmittel der Fall.
Herleitung und Formeln
Beim Mischen der Zutaten A und B zur Mischung C bleibt die Masse m des betrachteten Stoffes erhalten. Mit den Zutatenmassen m_A und m_B sowie den Massenanteilen w_A, w_B und w_C gilt:
m_A w_A + m_B w_B = (m_A + m_B) w_C
Nach Division durch die Gesamtmasse m_A + m_B erhält man das gewichtete arithmetische Mittel:
(m_A w_A + m_B w_B) / (m_A + m_B) = w_C
Durch Umformen der Erhaltungsgleichung folgt:
m_A(w_A − w_C) = m_B(w_C − w_B)
und damit das gesuchte Massenverhältnis:
m_A / m_B = (w_C − w_B) / (w_A − w_C)
Die beiden Differenzen auf der rechten Seite stehen im Mischungskreuz rechts oben und rechts unten. Interpretiert man sie unmittelbar als Massen m_A und m_B, entspricht die Gesamtmasse dem Zahlenwert von w_A − w_B.
Soll eine beliebige Gesamtmasse m_C hergestellt werden, verwendet man normierte Gewichte. Der Anteil der Zutat A ist:
r_A = m_A / (m_A + m_B) = (w_C − w_B) / (w_A − w_B)
Für Zutat B gilt:
r_B = 1 − r_A
Die tatsächlich benötigten Massen ergeben sich daraus zu:
m_A = r_A m_C
m_B = r_B m_C
Mischen von Säuren
Eine 35-prozentige Säure soll zunächst mit reinem Wasser, dessen Massenanteil 0 % beträgt, zu einer 22-prozentigen Säure gemischt werden. Die Differenzen des Mischungskreuzes sind:
• 22 − 0 = 22 Teile 35-prozentige Säure
• 35 − 22 = 13 Teile Wasser
Insgesamt entstehen 35 Teile. Für 1000 g der gewünschten Mischung werden daher benötigt:
• Säure: (1000 g / 35) · 22 = 629 g
• Wasser: (1000 g / 35) · 13 = 371 g
Da mit reinem Wasser verdünnt wird, lässt sich dieses Beispiel auch durch einen Dreisatz lösen: 22/35 · 1000 g = 629 g 35-prozentige Säure werden mit Wasser auf 1000 g ergänzt.
Wird stattdessen eine 15-prozentige Säure zum Verdünnen verwendet, lauten die Differenzen:
• 22 − 15 = 7 Teile 35-prozentige Säure
• 35 − 22 = 13 Teile 15-prozentige Säure
Das Verhältnis beträgt somit 7 : 13, insgesamt also 20 Teile. Für 1000 g einer 22-prozentigen Säure benötigt man:
• 35-prozentige Säure: (1000 g / 20) · 7 = 350 g
• 15-prozentige Säure: (1000 g / 20) · 13 = 650 g
Weitere Anwendungen
Das Mischungskreuz lässt sich auch auf Schulnoten anwenden. Hat ein Schüler in Mathematik, Physik und Chemie jeweils eine Eins und strebt insgesamt einen Mittelwert von 3,0 an, ist die Zahl seiner Dreien für diesen Mittelwert nicht relevant. Eine Vier liegt mit 4 − 3 = 1 nur halb so weit vom Zielwert entfernt wie eine Eins mit 3 − 1 = 2. Daher kann der Schüler zu seinen drei Einsen doppelt so viele, also sechs Vieren, erhalten.
Ein kaufmännisches Beispiel ist das Mischen zweier Teesorten zu einem gewünschten Durchschnittspreis. Kosten die Sorten 26 €/kg und 37 €/kg und soll die Mischung 34 €/kg kosten, ergeben sich 34 − 26 = 8 Teile der teureren Sorte und 37 − 34 = 3 Teile der weniger teuren Sorte. Insgesamt sind es 37 − 26 = 11 Teile. Der mittlere Preis ist:
(8/11) · 37 + (3/11) · 26 = 34 €/kg
Grenzen bei Legierungen
Zur Abschätzung der Massenanteile binärer Legierungen anhand ihrer Dichten eignet sich das Mischungskreuz nicht, weil hier die erforderliche Linearität nicht gegeben ist.
Für Kupfer, Zink und Messing CuZn40 mit 40 % Zn werden beispielsweise die Dichten 8,92 g/cm³ für Kupfer, 7,14 g/cm³ für Zink und 8,41 g/cm³ für Messing angegeben. Eine Berechnung des Zinkanteils mit dem Mischungskreuz würde (8,92 − 8,41) / (8,92 − 7,14) = 29 % ergeben und damit deutlich vom tatsächlichen Wert 40 % abweichen.
Dieser Unterschied ist wesentlich: Bis 37 % Zn ist Messing einphasig und besitzt eine α-Struktur; oberhalb davon ist es zweiphasig und weist eine α+β-Struktur auf.
