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Richmannsche Mischungsregel
Die Richmannsche Mischungsregel ist eine Regel zur Bestimmung der Mischungstemperatur, die sich beim Zusammenbringen mehrerer Körper unterschiedlicher …
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Kernidee und Bedeutung
Die Richmannsche Mischungsregel ist eine Regel zur Berechnung der Mischungstemperatur, die sich einstellt, wenn mehrere Körper oder Stoffmengen mit unterschiedlichen Ausgangstemperaturen zusammengebracht werden. Sie ist nach dem deutschbaltischen Physiker Georg Wilhelm Richmann benannt, der den Zusammenhang 1750 veröffentlichte. Damit stellte er die erste allgemeine Gleichung für kalorimetrische Berechnungen auf. Kalorimetrie bedeutet hier: Berechnung von Wärmemengen und Temperaturen bei Wärmeübertragung.
Die Grundidee lautet: Bei einer Mischung gibt der wärmere Anteil Wärme ab, der kältere Anteil nimmt Wärme auf. Wenn kein nennenswerter Wärmeaustausch mit der Umgebung stattfindet, stellt sich eine gemeinsame Temperatur ein. Diese nennt man Mischungstemperatur. Die Regel ist besonders wichtig, weil sie zeigt, wie Massen, Temperaturen und Wärmekapazitäten zusammen bestimmen, welche Endtemperatur eine Mischung erreicht.
Erste Formulierung für gleiche Stoffe
Richmann untersuchte experimentell die Mischung von Wasser unterschiedlicher Temperatur. Für zwei Wassermengen fand er den Zusammenhang:
m₁ · T₁ + m₂ · T₂ = (m₁ + m₂) · Tₘ
Daraus folgt für die Mischungstemperatur:
Tₘ = (m₁ · T₁ + m₂ · T₂) / (m₁ + m₂)
Dabei sind m₁ und m₂ die Massen der beiden Mischungskomponenten, T₁ und T₂ ihre Ausgangstemperaturen und Tₘ die Mischungstemperatur. Diese Form wird im engeren Sinne als Richmannsche Mischungsregel bezeichnet.
Die Mischungstemperatur ist nach dieser Formel das gewichtete arithmetische Mittel der Ausgangstemperaturen. „Gewichtet“ bedeutet: Eine größere Masse beeinflusst die Mischungstemperatur stärker als eine kleinere Masse. Wenn zum Beispiel viel warmes Wasser mit wenig kaltem Wasser gemischt wird, liegt die Endtemperatur näher an der warmen Ausgangstemperatur.
Rückwärtsrechnung und Mischungsverhältnis
Die Richmannsche Mischungsregel kann auch umgekehrt verwendet werden. Dann fragt man nicht nach der Endtemperatur, sondern danach, in welchem Mengenverhältnis zwei Wassermengen mit gegebenen Temperaturen gemischt werden müssen, um eine gewünschte Temperatur zu erhalten.
Bei vorgegebener Gesamtmenge M = m₁ + m₂ lassen sich die nötigen Mengen m₁ und m₂ mit dem Mischungskreuz oder durch Umstellen der Formel bestimmen:
m₁ = M · (Tₘ - T₂) / (T₁ - T₂)
m₂ = M · (Tₘ - T₁) / (T₂ - T₁)
Für das Mischungsverhältnis ergibt sich:
m₁ / m₂ = - (T₂ - Tₘ) / (T₁ - Tₘ)
Diese Formeln zeigen: Die gewünschte Mischungstemperatur muss zwischen den beiden Ausgangstemperaturen liegen. Je näher Tₘ an einer Ausgangstemperatur liegt, desto größer muss der Anteil der Komponente mit dieser Temperatur sein.
Physikalische Voraussetzungen
Der physikalische Hintergrund der ursprünglichen Regel ist, dass die Wärmeenergie eines Stoffes direkt proportional zu seiner Masse und seiner absoluten Temperatur ist. Der Proportionalitätsfaktor ist die spezifische Wärmekapazität. Die spezifische Wärmekapazität gibt an, wie viel Wärme ein Stoff pro Masse und Temperaturänderung aufnehmen oder abgeben kann. Sie hängt von der Art des Stoffes ab.
Diese Größe wurde erst einige Zeit nach Richmanns Entdeckung durch Joseph Black beschrieben. Deshalb gilt die einfache Formel nur dann, wenn beide Mischungskomponenten dieselbe spezifische Wärmekapazität haben. Das ist insbesondere bei der Mischung ein und desselben Stoffes der Fall, zum Beispiel Wasser mit Wasser.
Weitere Bedingungen sind: Beide Komponenten müssen vor dem Mischen jeweils überall gleichmäßig warm sein, und es darf kein nennenswerter Wärmeaustausch mit der Umgebung stattfinden. Außerdem darf sich in der betrachteten einfachen Anwendung der Aggregatzustand nicht ändern. Aggregatzustand bedeutet, ob ein Stoff fest, flüssig oder gasförmig ist.
Allgemeine Formulierung mit Enthalpie
Für unterschiedliche Stoffe reicht die einfache Regel nicht aus, weil verschiedene Stoffe unterschiedliche spezifische Wärmekapazitäten besitzen. Allgemeiner formuliert man daher den Wärmeaustausch so, dass die abgegebene Wärme gleich der aufgenommenen Wärme ist. Unter der Bedingung, dass keine Aggregatzustandsänderung auftritt und das System abgeschlossen ist, gilt:
Q_abgegeben = Q_aufgenommen
m₁ · (h₁(T₁) - h₁(Tₘ)) = m₂ · (h₂(Tₘ) - h₂(T₂))
Dabei stehen h₁(T) und h₂(T) für die spezifische Enthalpie der jeweiligen Komponenten. Die spezifische Enthalpie beschreibt den Wärmeinhalt eines Stoffes pro Masse in Abhängigkeit von der Temperatur. Diese allgemeine Form ist nützlich, wenn die Wärmeaufnahme oder Wärmeabgabe nicht einfach mit einer konstanten Wärmekapazität beschrieben werden kann.
Formel mit spezifischer Wärmekapazität
Wenn die spezifischen Wärmekapazitäten c₁ und c₂ als konstant angenommen werden können, vereinfacht sich die allgemeine Gleichung zu:
m₁ · c₁ · (T₁ - Tₘ) = m₂ · c₂ · (Tₘ - T₂)
Nach der Mischungstemperatur aufgelöst ergibt sich:
Tₘ = (m₁ · c₁ · T₁ + m₂ · c₂ · T₂) / (m₁ · c₁ + m₂ · c₂)
Auch diese Formel wird im weiteren Sinne als Richmannsche Mischungsregel bezeichnet. Sie erweitert Richmanns ursprünglichen Zusammenhang um die spezifische Wärmekapazität und ermöglicht dadurch die Berechnung der Mischungstemperatur unterschiedlicher Stoffe.
Sind die Wärmekapazitäten nicht über den gesamten Temperaturbereich konstant, kann für die Komponente i eine mittlere Wärmekapazität verwendet werden:
c̄ᵢ = (∫ von Tₘ bis Tᵢ cᵢ(T) dT) / (Tᵢ - Tₘ)
Dabei steht cᵢ(T) mit i = 1 oder 2 für die gegebenenfalls temperaturabhängige spezifische Wärmekapazität der beiden Komponenten. Die Berechnung kann dann ein iteratives Vorgehen erfordern. Iterativ bedeutet, dass man die Mischungstemperatur schrittweise annähert, weil die mittlere Wärmekapazität selbst von der Temperatur abhängen kann.
