Martingal

Grundidee und Definition

Ein Martingal ist ein stochastischer Prozess, der ein im Mittel faires Zufallsgeschehen beschreibt. Sein zukünftiger bedingter Erwartungswert entspricht dem gegenwärtigen Wert: Auch unter Berücksichtigung aller bisher verfügbaren Informationen ist weder ein systematischer Gewinn noch ein systematischer Verlust zu erwarten.

Im diskreten Fall seien ein Wahrscheinlichkeitsraum (\Omega,\mathcal A,P), eine Filtrierung \mathbb F=(\mathcal F_n)_{n\in\mathbb N} und ein Prozess X=(X_n)_{n\in\mathbb N} gegeben. Eine Filtrierung ist eine mit der Zeit wachsende Folge von σ-Algebren und beschreibt die jeweils bekannten Informationen. Der Prozess muss integrierbar sein, also \operatorname E(|X_n|)<\infty, und an \mathbb F adaptiert sein, das heißt, X_n muss für jedes n bezüglich \mathcal F_n messbar sein. Er ist genau dann ein Martingal bezüglich \mathbb F, wenn \operatorname E(X_{n+1}\mid\mathcal F_n)=X_n\quad P\text{-fast sicher für alle }n\in\mathbb N. Der bedingte Erwartungswert \operatorname E(Y\mid\mathcal B) ist der Erwartungswert von Y unter Einbeziehung der durch \mathcal B beschriebenen Informationen.

Für eine geordnete Indexmenge T, meist T\subset\mathbb R, lautet die zeitstetige Bedingung \operatorname E(X_t\mid\mathcal F_s)=X_s\quad P\text{-fast sicher für alle }s\le t. Aus der diskreten Ein-Schritt-Bedingung folgt mithilfe der Turmregel allgemeiner \operatorname E(X_m\mid\mathcal F_n)=X_n für alle m\ge n.

Die Martingaleigenschaft gehört immer zur Kombination aus Prozess und Filtrierung. Wird keine Filtrierung genannt, ist häufig die vom Prozess erzeugte Filtrierung \mathcal F_t^E:=\sigma(X_s;s\le t) gemeint. Ist ein Prozess bezüglich (\mathcal F_t) ein Martingal, dann ist er auch bezüglich seiner selbst erzeugten Filtrierung ein Martingal.

Verwandte und allgemeinere Begriffe

Ein integrierbarer, adaptierter Prozess heißt im diskreten Fall Submartingal, wenn \operatorname E(X_{n+1}\mid\mathcal F_n)\ge X_n, und Supermartingal, wenn \operatorname E(X_{n+1}\mid\mathcal F_n)\le X_n gilt, jeweils P-fast sicher. Im zeitstetigen Fall verwendet man dieselben Ungleichungen für alle s\le t. Submartingale sind damit im Mittel tendenziell steigend, Supermartingale tendenziell fallend.

Die Definition lässt sich auf einen Banachraum (E,\|\cdot\|_E) und eine halbgeordnete Indexmenge I übertragen. Ein E-wertiger Prozess ist ein \mathbb F-P-Martingal, wenn er adaptiert ist, für jedes t die Bedingung \mathbb E\|X_t\|_E<\infty erfüllt und \mathbb E[X_t\mid\mathcal F_s]=X_s für t\ge s gilt. Gilt zusätzlich \mathbb E\|X_t\|_E^p<\infty, spricht man von einem L^p-Martingal. Ein d-dimensionaler Prozess M=(M^{(1)},\dots,M^{(d)}) ist ein Martingal, wenn jede seiner Komponenten ein eindimensionales Martingal ist.

Lokale Martingale sind Prozesse, für die es eine monoton wachsende Folge von Stoppzeiten gibt, sodass jeder entsprechend gestoppte Prozess ein Martingal ist. Semimartingale sind adaptierte Prozesse mit Càdlàg-Pfaden, also rechtsseitig stetigen Pfaden mit vorhandenen linksseitigen Grenzwerten. Sie lassen sich in ein lokales Martingal, einen Prozess mit lokal endlicher Variation und einen fast sicher endlichen Anteil zerlegen. Bei Rückwärtsmartingalen wird die Indexmenge umgekehrt; sie laufen gewissermaßen von hinten nach vorne.

Faire Spiele und typische Beispiele

Die Grundidee lässt sich an einem fairen Glücksspiel zeigen. Mit dem Startkapital M_0 und dem Gewinn X_k im k-ten Spiel beträgt das Kapital nach n Spielen M_n=M_0+\sum_{k=1}^nX_k. Sind die Gewinne fair, also E(X_k)=0, und ist der nächste Gewinn unabhängig vom bisherigen Verlauf, dann gilt E(M_{n+1}\mid M_0,\dots,M_n)=M_n. Das Kapital bildet somit ein Martingal. Bei einem Spiel mit Bankvorteil ist dagegen im Allgemeinen E(X_k)<0, sodass E(M_{n+1}\mid M_0,\dots,M_n)\le M_n gilt. Aus Sicht des Spielers ist der Kapitalprozess dann ein Supermartingal.

Auch die eindimensionale Irrfahrt ist ein Martingal: Geht man in jedem Schritt mit Wahrscheinlichkeit 1/2 um eine Einheit nach oben oder unten und bezeichnet M_n die Position nach n Schritten, ist der erwartete nächste Stand gleich dem aktuellen Stand.

Aus jeder integrierbaren Zufallsvariablen X und einer Filtrierung entsteht durch X_n:=\operatorname E(X\mid\mathcal F_n) ein Martingal. Die Martingaleigenschaft folgt aus der Turmregel: \operatorname E(X_{n+1}\mid\mathcal F_n)=\operatorname E(\operatorname E(X\mid\mathcal F_{n+1})\mid\mathcal F_n)=\operatorname E(X\mid\mathcal F_n)=X_n. Wird \mathcal F_n=\sigma(Y_0,\dots,Y_n) durch Zufallsvariablen erzeugt, heißt X_n=\operatorname E(X\mid Y_0,\dots,Y_n) Doob-Martingal.

Bei der Pólya-Urne liegen anfangs eine schwarze und eine weiße Kugel in der Urne. Nach jedem zufälligen Ziehen wird die Kugel zusammen mit einer weiteren Kugel derselben Farbe zurückgelegt. Ist X_n die Zahl der schwarzen Kugeln nach n Schritten, dann ist (X_n/(n+2))_{n\ge0} bezüglich der kanonischen Filtrierung ein Martingal. In Epidemiemodellen wird das Ende einer Epidemie als Stoppzeit behandelt; daraus lassen sich Formeln für die Verteilung ihrer finalen Größe ableiten.

Zeitstetige Beispiele und Struktur

Ein Wiener-Prozess W_t ist ein Martingal. Auch W_t^2-t und die geometrische brownsche Bewegung ohne Drift a\exp\left(\sigma W_t-\frac{\sigma^2}{2}t\right) sind Martingale. Ein Poisson-Prozess mit Rate \lambda wird nach Abzug seines Drifts zum Martingal: \hat P_{\lambda,t}=P_{\lambda,t}-\lambda t.

Nach der Itō-Formel ist jedes Itō-Integral mit beschränktem Integranden ein Martingal. Umgekehrt lässt sich nach dem Itoschen Martingaldarstellungssatz jedes Martingal, sogar jedes lokale Martingal, bezüglich einer von einer Brownschen Bewegung erzeugten Filtrierung als Itō-Integral bezüglich dieser Brownschen Bewegung darstellen. Jedes stetige Martingal ist entweder konstant oder von unendlicher Variation. Außerdem ist jedes gestoppte Martingal wieder ein Martingal.

Für ein stetiges beschränktes Martingal M_t, oder eines mit endlichen exponentiellen Momenten, und seine quadratische Variation \langle M\rangle_t ist M_t^2-\langle M\rangle_t ebenfalls ein Martingal. Das Exponentialmartingal \exp\left(M_t-\frac12\langle M\rangle_t\right) ist ebenfalls ein Martingal; dies folgt aus dem Kazamaki-Kriterium.

Zwei quadratintegrierbare Martingale X,Y mit X_0=Y_0=0 und terminalen Werten X_\infty,Y_\infty heißen schwach orthogonal, wenn \mathbb E[X_\infty Y_\infty]=0. Sie heißen stark orthogonal, wenn XY ein gleichmäßig integrierbares Martingal ist; äquivalent gilt \langle X,Y\rangle_t=0.

Grundlegende Eigenschaften und Rechenregeln

Der Erwartungswert eines Martingals bleibt konstant. Für s\le t gilt \operatorname E(X_t)=\operatorname E(\operatorname E(X_t\mid\mathcal F_s))=\operatorname E(X_s). Bei total geordnetem T besitzen somit alle X_t denselben Erwartungswert. In der Glücksspieldeutung entspricht der erwartete spätere Kapitalstand dem erwarteten Anfangskapital.

Wichtige Rechenregeln sind:

• X ist genau dann ein Submartingal, wenn -X ein Supermartingal ist.

• Für a,b\ge0 bleiben nichtnegative Linearkombinationen aX+bY von Submartingalen beziehungsweise Supermartingalen in derselben Klasse. Für Martingale dürfen a,b\in\mathbb R beliebig sein.

• Das punktweise Minimum zweier Supermartingale ist ein Supermartingal; das punktweise Maximum zweier Submartingale ist ein Submartingal.

• Ist \varphi konvex, X ein Martingal und \operatorname E(\varphi(X_t)^+)<\infty, dann ist (\varphi(X_t))_{t\in T} ein Submartingal.

Ist eine Filtrierung \mathcal F kleiner als \mathcal F^*, also \mathcal F_t\subset\mathcal F_t^* für jedes t, dann ist jedes \mathcal F^*-Martingal auch ein \mathcal F-Martingal, sofern die erforderliche Adaptiertheit vorliegt.

Zentrale Sätze und Verfahren

Die Doobsche Maximalungleichung schätzt den Maximalwert eines Martingals bis zu einem gegebenen Zeitpunkt ab. Die Aufkreuzungsungleichung beschreibt, wie oft ein Submartingal ein festgelegtes Intervall von unten nach oben durchquert. Solche Ungleichungen sind wichtige Hilfsmittel für Aussagen über das Verhalten und die Konvergenz von Prozessen.

Das Optional Stopping Theorem und das Optional Sampling Theorem verbinden Martingale mit Stoppzeiten, also zufälligen Zeitpunkten, deren Eintreten anhand der bis dahin verfügbaren Informationen feststellbar ist. Sie behandeln Eigenschaften und Erwartungswerte gestoppter Prozesse. Damit lässt sich zeigen, dass es keine Abbruchstrategie für ein faires Spiel gibt, die dem Spieler einen Vorteil verschafft.

Bei einer Martingaltransformation wird ein Martingal mithilfe eines vorhersagbaren, lokal beschränkten Prozesses und des diskreten stochastischen Integrals in einen neuen Prozess umgewandelt. Der neue Prozess ist wieder ein Martingal. Deutet man den vorhersagbaren Prozess als Spielstrategie, folgt daraus, dass eine solche Strategie in einem fairen Spiel im Allgemeinen keinen Gewinnvorteil erzeugt.

Die Doob-Zerlegung zerlegt jeden adaptierten integrierbaren stochastischen Prozess in ein Martingal und einen vorhersagbaren Prozess. Der Martingalkonvergenzsatz gibt Kriterien an, unter denen die Zufallsvariablen eines Martingals fast sicher oder im p-ten Mittel konvergieren.