Magnetische Spannung

Begriff und grundlegende Definition

Die magnetische Spannung, auch magnetische Quellspannung genannt, ist in der Elektrodynamik das Wegintegral der magnetischen Feldstärke H. Sie beschreibt damit die magnetische Antriebsspannung entlang eines Weges und ist besonders für die Betrachtung magnetischer Kreise von Bedeutung. Als Formelzeichen werden Vm, Um oder Θ verwendet.

Für einen Weg von einem Punkt A zu einem Punkt B ist sie definiert als:

Vm = ∫A^B H⃗ · ds⃗

Verläuft der Weg geschlossen, also als Umlauf, spricht man von der magnetischen Durchflutung Θ, der Durchflutung oder der magnetischen Umlaufspannung. Sie entspricht dem durch den Umlauf eingeschlossenen totalen elektrischen Strom. Dieser setzt sich aus dem Leitungsstrom und dem Verschiebungsstrom zusammen. Die magnetische Spannung weist damit eine formale Ähnlichkeit zur elektrischen Spannung U auf.

Einheit und Zusammenhang mit Spulen

Im Internationalen Einheitensystem (SI) hat die magnetische Spannung die Einheit Ampere (A). Früher wurde für die Durchflutung auch die Bezeichnung Amperewindung mit dem Einheitenzeichen Aw oder AW verwendet. Diese Bezeichnung verweist darauf, dass derselbe Strom einen Umlauf mehrfach durchwinden kann. Bei einer Zylinderspule ist die magnetische Spannung in guter Näherung gleich dem Produkt aus Stromstärke und Windungszahl.

Im Gaußschen Einheitensystem und im elektromagnetischen Einheitensystem (EMU beziehungsweise cgs) wird für die Durchflutung die Einheit Gilbert mit dem Einheitenzeichen Gb verwendet. In der Tabelle des Artikels sind für das SI die Einheit A und die Dimension I angegeben. Für das Gaußsche beziehungsweise elektromagnetische cgs-System wird Gb = Oe·cm mit der Dimension L^{1/2}·M^{1/2}·T^{−1} angegeben; für das elektrostatische cgs-System (esE) lautet die Einheit statA mit der Dimension L^{3/2}·M^{1/2}·T^{−2}.

Durchflutung und eingeschlossener Strom

Das Durchflutungsgesetz, auch Ampèresches Gesetz genannt, stellt den Zusammenhang zwischen magnetischer Durchflutung und eingeschlossenem Strom her. Für einen geschlossenen Weg gilt:

Θ := ∮S H⃗ · ds⃗ = I

Dabei ist I der eingeschlossene elektrische Strom; er wird auch als elektrische Durchflutung bezeichnet. Die Orientierung des Umlaufs bestimmt das Vorzeichen der Größen.

Berücksichtigt man zusätzlich eine mögliche zeitliche Änderung des elektrischen Flusses Ψ durch die vom Umlauf begrenzte Fläche, erhält man die elektrische Gesamtdurchflutung:

Θtot = ∮S H⃗ · ds⃗ = I + ∂Ψ/∂t

Die Durchflutung eines geschlossenen Weges wird somit durch den eingeschlossenen Leitungsstrom und gegebenenfalls durch den zeitlich veränderlichen elektrischen Fluss bestimmt.

Magnetischer Kreis und Hopkinsonsches Gesetz

Das Hopkinsonsches Gesetz verbindet die magnetische Spannung Vm mit dem magnetischen Fluss Φ und dem magnetischen Widerstand Rm:

Vm = Rm · Φ

Es ist das magnetische Gegenstück zum ohmschen Gesetz elektrischer Stromkreise. Dabei übernimmt die magnetische Spannung die Rolle der elektrischen Spannung, der magnetische Fluss die Rolle des elektrischen Stroms und der magnetische Widerstand die Rolle des elektrischen Widerstands.

Ein wichtiger Unterschied besteht bei geschlossenen Maschen: Im elektrischen Stromkreis ist die Summe aller Spannungen in einer Masche unter der Voraussetzung fehlender veränderlicher Magnetfelder gleich null. Im magnetischen Kreis ist sie dagegen gleich der magnetischen Durchflutung. Die magnetische Spannung kann deshalb entlang verschiedener Abschnitte eines magnetischen Kreises verteilt sein, während die Durchflutung als Antrieb des gesamten Umlaufs auftritt.

Linienleiter und Spule

Um einen geraden elektrischen Linienleiter kann man sich Ebenenfächer vorstellen. Die magnetische Spannung zwischen zwei solchen Flächen hängt vom Winkel α zwischen ihnen ab. Für einen Leiter mit dem Strom I gilt:

Vm(α) = (α/(2π)) · Θ = (α/(2π)) · I

Die gesamte Durchflutung wird dabei gleichmäßig auf den vollständigen Winkel von 2π verteilt. Bei einem Bündel aus n Leitern, durch die jeweils der Strom I fließt, gilt stattdessen Θ = n · I.

Die magnetische Feldstärke H ergibt sich aus der Änderung der magnetischen Spannung entlang der Feldstrecke:

H = dVm(α)/ds = dVm(α)/(r dα)

Dabei ist ds ein Abschnitt der Feldlänge l, für die l = α · r gilt. Der Radius r bezeichnet den Kreis um den Strom I, auf dem das Feld gemessen wird. In dieser Darstellung ist Vm gleichbedeutend mit Θ.

Für eine kurze Zylinderspule mit der Windungszahl N und dem Strom I gilt in guter Näherung:

Θ = Σn Rm,n · Φn = Σn Θn = N · I

Die Beziehung gilt auch bei anderen Spulenformen, wenn kaum Magnetfeldlinien zwischen den Windungen hindurchtreten oder wenn der Magnetkreis aus einem Material mit hoher relativer Permeabilität besteht, etwa einem Eisenkern oder Ferritkern. Dann liegt nahezu das gesamte Magnetfeld im Kern. Bei annähernd konstantem Eisenquerschnitt kann aus der mittleren Eisenweglänge und der Durchflutung auf die magnetische Feldstärke geschlossen werden. Ist außerdem die Permeabilitätszahl bekannt, lässt sich auch die magnetische Flussdichte bestimmen. Dadurch kann geprüft werden, ob der Kern unterhalb seiner materialtypischen Sättigungsflussdichte betrieben wird.

Bei einem Kern mit Luftspalt tritt ein großer Teil der magnetischen Spannung am Luftspalt auf. Dadurch erreicht der Kern erst bei einer höheren Durchflutung die Sättigung. Wenn angenommen wird, dass das am Luftspalt austretende Feld vollständig wieder in den Kern eintritt, bilden der magnetische Widerstand des Kerns und der des Luftspalts eine Reihenschaltung. Wegen der dort vorliegenden Permeabilitätszahl 1 besitzt der Luftspalt selbst bei geringer Breite einen großen magnetischen Widerstand gegenüber dem Kern.