Magisches Quadrat

Grundidee und Definition

Ein magisches Quadrat ist ein schachbrettartiges Quadrat, in dem Zeichen, Zahlen oder Symbole nach einer besonderen Regel angeordnet sind. In der Mathematik meint man meist ein Quadrat der Ordnung n, also mit n Zeilen und n Spalten, auf dessen n^2 Feldern verschiedene natürliche Zahlen so stehen, dass jede Zeile, jede Spalte und die beiden Diagonalen dieselbe Summe ergeben.

Im engsten Sinn werden genau die Zahlen 1, 2, ..., n^2 verwendet. Solche Quadrate heißen normal oder rein. Häufig wird allgemeiner nur verlangt, dass n^2 paarweise verschiedene natürliche Zahlen vorkommen. Manche Darstellungen lassen sogar beliebige Zahlen zu; dann kann man magische Quadrate als Lösungen eines linearen Gleichungssystems untersuchen.

Die gemeinsame Summe einer Zeile, Spalte oder Diagonale heißt magische Summe, magische Konstante oder magische Zahl. Zahlenquadrate, bei denen nur Zeilen- und Spaltensummen gleich sind, aber nicht die Diagonalensummen, heißen semimagische Quadrate, misslungene magische Quadrate oder dissonante magische Quadrate.

Magische Zahl und Grundoperationen

Für ein normales magisches Quadrat der Ordnung n ergibt sich die magische Zahl aus der Summe aller Zahlen von 1 bis n^2. Da es n Zeilen mit derselben Summe S_n gibt, gilt:

S_n = (1/n) · Summe von k=1 bis n^2 k = (n^3 + n) / 2.

Die ersten magischen Zahlen ab n = 3 sind 15, 34, 65, 111, 175, 260, 369, 505, 671, 870, 1105, ... . Für n = 1 gibt es nur das triviale Quadrat mit der Zahl 1, für n = 2 kein magisches Quadrat; ab n = 3 gibt es magische Quadrate im engeren Sinn.

Aus einem magischen Quadrat entstehen durch Drehung um 90°, 180° und 270° sowie durch Spiegelung an Hauptachsen und Diagonalen wieder magische Quadrate. Diese acht Varianten gelten als äquivalent. Eine gebräuchliche Vergleichsform ist die Frénicle-Standardform: Das linke obere Eckfeld ist das kleinste der vier Eckfelder, und das Feld rechts daneben ist kleiner als das darunterliegende Feld.

Zu jedem normalen magischen Quadrat kann ein Komplement gebildet werden: Man multipliziert alle Einträge mit −1 und addiert anschließend n^2 + 1. Ein Feld und sein entsprechendes Komplementfeld ergänzen sich dann zu n^2 + 1. Manche Quadrate sind selbstkomplementär, das heißt, ihr Komplement ist zu ihnen äquivalent.

Wichtige Arten

Allgemeine reelle Zahlenquadrate bestehen aus reellen Zahlen. Ihre einzige Bedingung ist, dass Zeilen, Spalten und Diagonalen dieselbe frei wählbare Summe s ergeben. Für Quadrate dritter Ordnung gilt: Das mittlere Feld enthält immer das arithmetische Mittel aller Zahlen des Quadrats. Beschränkt man sich bei Ordnung 3 auf natürliche Zahlen, gibt es für jeden Mittelwert eine endliche Lösungsmenge; bei s = 27 werden 25 Lösungen genannt, bei der magischen Zahl 15 sind es 9 Lösungen, darunter Lo-Shu ohne Wiederholung.

Ein symmetrisches, genauer zentralsymmetrisches oder assoziatives, magisches Quadrat hat zusätzlich die Eigenschaft, dass zwei zum Mittelpunkt punktsymmetrische Felder immer dieselbe Summe bilden. Diese Summe beträgt n^2 + 1; bei ungerader Ordnung hat das Mittelfeld den Wert (n^2 + 1) / 2. Das 3-mal-3-Quadrat ist symmetrisch.

Bei einem pandiagonalen magischen Quadrat stimmen auch die Summen der gebrochenen Diagonalen. Gebrochene Diagonalen verlaufen parallel zu Haupt- oder Gegendiagonale und werden am Rand so fortgesetzt, als sei das Quadrat periodisch verschoben. Die kleinste Ordnung für pandiagonale Quadrate ist 4. Quadrate, die zugleich symmetrisch und pandiagonal sind, heißen ultramagisch.

Weitere Varianten sind magische Primzahlquadrate, bei denen alle Elemente Primzahlen oder in älteren Beispielen auch die 1 sind; Rösselsprung-Quadrate und Königszug-Quadrate mit Schachzügen; magische Unterquadrate, bei denen ein größeres Quadrat lückenlos in kleinere magische Quadrate zerfällt; sowie ineinander liegende magische Quadrate, bei denen nach Entfernen des Randes wieder ein magisches Quadrat bleibt.

Anzahl und Struktur

Die Anzahl normaler magischer Quadrate ist nur für kleine Ordnungen genau bekannt. Es gibt ein triviales Quadrat der Kantenlänge 1 und keines der Kantenlänge 2. Abgesehen von Symmetrieoperationen gibt es nur ein normales magisches Quadrat der Kantenlänge 3. Für Kantenlänge 4 fand Frénicle de Bessy bereits 1693 alle 880 magischen Quadrate. Für Kantenlänge 5 gibt es 275.305.224 magische Quadrate. Für größere n sind keine genauen Zahlen bekannt, aber bis etwa n = 20 relativ verlässliche Abschätzungen; weitreichende Berechnungen stammen von Walter Trump. Bekannt sind auch Zahlen für besondere Typen, etwa 48 symmetrische magische Quadrate der Kantenlänge 4 und 16 ultramagische Quadrate der Kantenlänge 5.

Normale magische Quadrate der Ordnung 4 lassen sich außerdem nach inneren Strukturen betrachten. Aus den Zahlen 1 bis 16 entstehen acht Paare mit Summe 17: (1|16), (2|15), (3|14), (4|13), (5|12), (6|11), (7|10) und (8|9). Verbindet man solche Paare in einem vierreihigen magischen Quadrat, entstehen meist Muster mit Symmetrien. Danach werden die Quadrate in zwölf Strukturgruppen eingeteilt. Die Strukturgruppe 3 enthält als einzige die symmetrischen magischen Quadrate; auch das Dürer-Quadrat gehört wegen seiner Eigenschaften zu dieser Gruppe.

Konstruktion

Zur Konstruktion magischer Quadrate gibt es verschiedene Verfahren, abhängig von der Ordnung. Für ungerade Ordnungen wie 3×3, 5×5 oder 7×7 ist die siamesische Methode, auch Methode nach Narayana oder De-la-Loubère-Methode genannt, besonders einfach. Man beginnt oben in der Mitte mit 1. Ist die zuletzt geschriebene Zahl kein Vielfaches von n, setzt man die nächste Zahl oben rechts ein; ist sie ein Vielfaches von n, setzt man die nächste Zahl unter die zuletzt geschriebene. Verlässt man das Quadrat am Rand, wird es periodisch fortgesetzt: oben hinaus bedeutet unten wieder hinein, rechts hinaus bedeutet links wieder hinein.

Ein weiteres Verfahren für ungerade Ordnung ist die Bachet-Methode nach Claude Gaspard Bachet de Méziriac. Für bestimmte gerade Ordnungen gibt es eigene Verfahren: eines für Kantenlängen, die durch 4 teilbar sind, und eines für Kantenlängen, die beim Teilen durch 4 den Rest 2 haben. Mit der LUX-Methode von John Horton Conway lassen sich ausgehend von der siamesischen Methode weitere Quadrate doppelter Ordnung erzeugen.

Für gerade Ordnungen größer als 4 beschreibt der Artikel auch ein spielerisches Verfahren mit Medjig-Lösungen, bei denen Puzzle-Teile mit den Zahlen 0, 1, 2 und 3 so angeordnet werden, dass Zeilen, Spalten und Diagonalen bestimmte Punktsummen besitzen. Außerdem lassen sich magische 4×4-Quadrate mit einer gewünschten magischen Zahl S über ein Schema mit ganzen Zahlen a und b bilden; dabei gilt S = 21a + b.

Bekannte Beispiele

Das Lo-Shu ist das älteste bekannte magische Quadrat und stammt aus China um ca. 2800 v. Chr. Es ist ein 3×3-Quadrat mit der magischen Zahl 15 und zugleich das einzige normale magische Quadrat der Größe 3 mal 3. In Europa wurde es im 16. und 17. Jahrhundert als Saturn-Siegel bezeichnet.

Ein sehr bekanntes 4×4-Beispiel ist das magische Quadrat in Albrecht Dürers Kupferstich Melencolia I. Seine magische Zahl ist 34. Es ist symmetrisch und besitzt 86 Summenkombinationen mit der Summe 34, darunter Zeilen, Spalten, Diagonalen, bestimmte Eckquadrate, Muster und weitere Viererkombinationen. Außerdem hat jedes zum Mittelpunkt punktsymmetrische Zahlenpaar die Summe 17.

Die Passionsfassade der Sagrada Família in Barcelona enthält ein Zahlenquadrat von Josep Maria Subirachs. Es ist kein magisches Quadrat im engeren Sinn, weil nicht alle Zahlen von 1 bis 16 vorkommen: 12 und 16 fehlen, 10 und 14 erscheinen doppelt. Die magische Zahl ist 33 und spielt auf das Lebensalter Christi an. Das Quadrat entsteht aus dem Dürer-Quadrat durch eine Drehung um 180° und eine Verringerung der Zahlen 11, 12, 15 und 16 um jeweils 1.

Weitere Beispiele sind Deutungen von Goethes Hexeneinmaleins als magisches oder semimagisches Quadrat sowie ein Quadrat von Srinivasa Ramanujan, dessen erste Zeile sein Geburtsdatum zeigt und dessen gleichfarbige Felder die Summe 139 ergeben.