Fadenstrahlrohr

Grundidee und Zweck

Ein Fadenstrahlrohr ist ein physikalischer Versuchsaufbau, mit dem die Bewegung beschleunigter Elektronen in einem Magnetfeld sichtbar gemacht und untersucht wird. Die Elektronen bewegen sich in einem Glaskolben auf einer Kreisbahn, weil auf sie die Lorentzkraft wirkt. Die Lorentzkraft ist eine Kraft auf bewegte elektrische Ladungen im Magnetfeld; sie zeigt hier zum Inneren der Kreisbahn und wirkt dadurch als Zentripetalkraft, also als Kraft, die eine Kreisbewegung ermöglicht.

Die Bahn der Elektronen wird sichtbar, weil im Glaskolben ein Gas mit niedrigem Druck enthalten ist. Beim Zusammenstoß der Elektronen mit Gasmolekülen entsteht Licht. So kann man den Elektronenstrahl und seine Kreisbahn beobachten. Der Versuch ist wichtig, weil er zeigt, wie geladene Teilchen in Magnetfeldern abgelenkt werden, und weil man daraus die spezifische Ladung des Elektrons bestimmen kann. Die spezifische Ladung ist das Verhältnis aus Ladung und Masse eines Teilchens, hier also e/m.

Aufbau des Versuchs

Der Versuch findet in einem evakuierten Glaskolben statt, in den eine kleine Menge Gas gefüllt wird, zum Beispiel Wasserstoff oder Argon. Im Kolben herrscht ein niedriger Druck von etwa 0,1–1 Pa. Dieser Druck ist so gewählt, dass die Elektronen durch Stöße möglichst wenig abgebremst werden, aber trotzdem genügend Zusammenstöße stattfinden, damit der Elektronenstrahl leuchtet.

Im Glaskolben befindet sich eine Elektronenkanone. Sie besteht aus einer Heizspirale, einer Kathode und einer Lochanode. Aus der Kathode treten Elektronen aus. Die positiv geladene Anode beschleunigt sie. Die meisten Elektronen werden an der Anode wieder absorbiert, aber ein kleiner Teil gelangt durch ein Loch in der Anode nach außen und bildet den Elektronenstrahl.

Außerhalb des Glaskolbens befindet sich ein Helmholtzspulenpaar. Helmholtzspulen erzeugen ein annähernd homogenes Magnetfeld, also ein Magnetfeld, das in dem betrachteten Bereich möglichst gleichmäßig ist. An die Helmholtzspulen wird ein Amperemeter angeschlossen, damit der Spulenstrom gemessen werden kann. An die Elektronenkanone wird ein Voltmeter angeschlossen, um die Beschleunigungsspannung einzustellen.

Beobachtung der Kreisbahn

Beim Einschalten der Heizspannung erhitzt sich die Heizspirale. Dadurch treten Elektronen aus ihr heraus. Zwischen Kathode und Anode wirkt ein elektrisches Feld auf die Elektronen und beschleunigt sie auf eine hohe Geschwindigkeit. Ein Teil der Elektronen verlässt durch die kleine Öffnung in der Anode das Strahlerzeugungssystem als Elektronenstrahl.

Solange kein Spulenstrom eingeschaltet ist, gibt es kein Magnetfeld der Spulen, das den Strahl ablenkt. Deshalb wirkt keine entsprechende Kraft auf den Strahl, und er behält seine Richtung bei. Wird zusätzlich der Spulenstrom eingeschaltet, entsteht ein Magnetfeld. Dann wirkt auf die bewegten Elektronen die Lorentzkraft. Diese Kraft steht senkrecht zur Bewegungsrichtung der Elektronen und lenkt sie auf eine Kreisbahn. Sie wirkt dabei als Zentripetalkraft.

Spezifische Ladung

Je größer der Spulenstrom ist, desto stärker ist das Magnetfeld. Da die Stärke des Magnetfeldes und die Lorentzkraft proportional zueinander sind, nimmt mit stärkerem Magnetfeld auch die Lorentzkraft zu. Eine größere Lorentzkraft lenkt die Elektronen stärker ab, daher wird der Radius der Kreisbahn kleiner.

Die Lorentzkraft F_L steht immer senkrecht zur momentanen Bewegungsrichtung. Sie kann den Betrag der Geschwindigkeit und damit die Bewegungsenergie nicht ändern, sondern nur die Bewegungsrichtung. Für die Kreisbewegung gilt, dass die Lorentzkraft gleich der Zentripetalkraft F_Z ist:

F_L = F_Z

e · v · B = m · v² / r

Dabei ist e die elektrische Ladung, v die Geschwindigkeit, B die magnetische Flussdichte, m die Masse des Elektrons und r der Radius der Kreisbahn. Daraus folgt für den Betrag der spezifischen Elektronenladung:

e/m = v / (B · r)

Die Geschwindigkeit wird mithilfe des Energieerhaltungssatzes aus der Beschleunigungsspannung U bestimmt:

e · U = 1/2 · m · v²

Damit ergibt sich schließlich:

e/m = 2 U / (r² · B²)

Die spezifische Elektronenladung hat den Wert:

−e/m ≈ −1,7588202 · 10¹¹ C/kg

Da die Ladung eines Elektrons aus dem Millikan-Versuch zugänglich ist, kann man mit der Untersuchung von Elektronen im Magnetfeld auch die Masse des Elektrons bestimmen:

m = e · r² · B² / (2 U) ≈ 9,1094 · 10⁻³¹ kg

Ähnliche Konzepte zur Bestimmung oder „Wägung“ geladener Teilchen findet man beim Massenspektrometer.

Gültigkeitsbedingungen

Die angegebenen Formeln und die Bestimmung der spezifischen Ladung gelten unter bestimmten Voraussetzungen. Erstens muss das magnetische Feld homogen sein. Das bedeutet, dass die magnetische Flussdichte B im betrachteten Bereich gleichmäßig ist.

Zweitens wird angenommen, dass die Elektronen beim Austritt aus der Kathode die Geschwindigkeit Null haben. Dadurch kann die Beschleunigungsspannung U direkt mit der gewonnenen kinetischen Energie in Verbindung gebracht werden.

Drittens muss die Geschwindigkeit der Elektronen senkrecht zum Magnetfeld stehen: v ⟂ B. Nur dann ergibt sich die Kreisbahn in der beschriebenen einfachen Form.

Relativistische Korrekturen

Bei hohen Energien muss man Einflüsse der Relativitätstheorie berücksichtigen. Das wird wichtig, wenn die Geschwindigkeit der Elektronen einen deutlichen Anteil der Lichtgeschwindigkeit c erreicht. In radialer Richtung nimmt dann die Trägheit um den Lorentz-Faktor zu:

γ = 1 + 1 / √(1 − v²/c²)

Dies wird manchmal als relativistische Massenzunahme bezeichnet. Der Artikel weist jedoch darauf hin, dass dieser Begriff in der modernen Fachsprache vermieden wird.

Auch die klassische Formel für den Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und kinetischer Energie muss dann verändert werden. Relativistisch gilt:

E_kin = (γ − 1)mc² = 1/2 mv² + 3/8 · mv⁴/c² + …

Diese relativistischen Korrekturen werden erst relevant, wenn sich die kinetische Energie ungefähr der Ruheenergie des Elektrons nähert. Diese beträgt mc² ≈ 511 keV. Das entspricht Beschleunigungsspannungen von etlichen kV.