Logistische Funktion

Grundidee und Definition

Die logistische Funktion beschreibt Sättigungsprozesse. Ihr Graph ist eine S-förmige Kurve, ein sogenanntes Sigmoid. Sie wird auch zur Beschreibung einer stetigen eindimensionalen Wahrscheinlichkeitsverteilung, der logistischen Verteilung, verwendet. Manchmal heißt sie auch Expit, weil ihre Umkehrfunktion die Logit-Funktion ist.

Als Wachstumsmodell erweitert sie das exponentielle Wachstum: Der Bestand wächst zunächst, wird aber durch eine begrenzte Ressource gebremst. Diese Ressource legt eine obere Schranke G fest. Zur Anfangszeit gilt nicht f(0)=0, sondern f(0)>0.

Das Wachstum f'(t) ist proportional zu drei Größen: dem aktuellen Bestand f(t), der noch freien Kapazität G-f(t) und einer Wachstumskonstanten k. Dadurch entsteht die Bernoullische Differentialgleichung

f'(t)=k·f(t)·(G-f(t)).

Die Lösung dieser Differentialgleichung lautet

f(t)=G·1/(1+e^(-k·G·t)·(G/f(0)-1)).

Dabei ist G die Sättigungsgrenze, k eine Proportionalitäts- beziehungsweise Wachstumskonstante, t die Zeit und f(0) der Anfangswert.

Verlauf der Kurve

Am Anfang ist das Wachstum klein, weil der Bestand beziehungsweise die Population noch klein ist. Deshalb gibt es nur wenige Individuen oder Einheiten, die zum weiteren Wachstum beitragen. In der Mitte der Entwicklung wächst der Bestand am stärksten. Dieser Punkt ist der Wendepunkt: Dort ist die Steigung von f maximal.

Nach dem Wendepunkt verlangsamt sich das Wachstum, weil die Ressourcen zunehmend verbraucht sind. Der Funktionswert nähert sich der oberen Schranke G an, überschreitet sie im Modell aber nicht. Die erste Ableitung der logistischen Funktion hat die Form einer Glockenkurve: Sie ist am Wendepunkt maximal und strebt für t gegen -∞ und +∞ gegen 0. Diese Glockenform ähnelt einer Gaußschen Normalverteilung, unterscheidet sich aber im Detail.

Die Differentialgleichung besitzt zwei stationäre Lösungen, also Lösungen ohne Veränderung: f≡0 und f≡G. Stationär bedeutet hier, dass die Ableitung f'(t) überall 0 ist.

Herleitung der Lösungsformel

Die Differentialgleichung wird mit dem Verfahren der Trennung der Variablen gelöst. Dazu betrachtet man F(t)=kt(G-t) und die Gleichung df/dt(t)=F(f(t)). Durch Umformen erhält man ein Integral der Form

∫ von f(0) bis f(t) 1/F(s) ds = t.

Mit F(s)=ks(G-s) wird daraus

∫ von f(0) bis f(t) 1/(ks(G-s)) ds.

Durch Partialbruchzerlegung ergibt sich

1/(ks(G-s)) = 1/(kG)·(1/s + 1/(G-s)).

Nach Integration mit dem natürlichen Logarithmus ln erhält man

1/(kG)·ln(f(t)/(G-f(t))) + eine Konstante.

Die Konstante wird aus dem Anfangswert bestimmt:

c = -ln(f(0)/(G-f(0))) = ln(G/f(0)-1).

Damit gilt

ln(f(t)/(G-f(t))) = kGt - c.

Durch Anwenden der Exponentialfunktion, Umstellen und Kehrwertbildung erhält man

f(t)=G·1/(1+e^(-kGt+c)).

Setzt man c=ln(G/f(0)-1) ein, folgt die übliche Lösungsform

f(t)=G·1/(1+e^(-kGt)·(G/f(0)-1)).

An dieser Gleichung sieht man, dass die Werte bei 0<f(0)<G immer zwischen 0 und G liegen. Die Lösung gilt deshalb für alle reellen Zeiten -∞<t<∞.

Wendepunkt und maximales Wachstum

Der Wendepunkt ist der Punkt, an dem die Kurve von linksgekrümmt zu rechtsgekrümmt wechselt. Für die logistische Funktion ist er besonders wichtig, weil dort die Wachstumsgeschwindigkeit maximal ist.

Aus der Differentialgleichung folgt zunächst

f'(t)=k·f(t)·(G-f(t)).

Mit der Produktregel erhält man für die zweite Ableitung

f''(t)=k·f'(t)·(G-2·f(t)).

Am Wendepunkt t_W gilt f''(t_W)=0. Da der entscheidende Faktor G-2·f(t_W) verschwindet, folgt

G-2·f(t_W)=0,

also

f(t_W)=G/2.

Die Population oder der Bestand hat im Wendepunkt also genau die Hälfte der Sättigungsgrenze erreicht.

Für die Zeit des Wendepunkts ergibt sich aus der Lösungsformel

t_W = c/(k·G).

Mit c=ln(G/f(0)-1) folgt für G>f(0):

t_W = ln(G/f(0)-1)/(k·G).

Der Wendepunkt ist damit vollständig bestimmt und es gibt nur einen. Setzt man f(t_W)=G/2 in die erste Ableitung ein, erhält man die maximale Wachstumsgeschwindigkeit:

f'(t_W)=k·G²/4.

Darstellungsformen und Anwendungen

Die logistische Funktion kann in mehreren gleichwertigen Formen geschrieben werden. Aus

f(t)=G·1/(1+e^(-k·G·t)·(G/f(0)-1))

folgt zum Beispiel

f(t)=G·f(0)/(f(0)+(G-f(0))·e^(-k·G·t)).

Eine weitere Darstellung benutzt den Tangens hyperbolicus tanh:

f(t)=G/2·(tanh((kG/2)(t-t_W))+1),

wobei

t_W=ln(G/f(0)-1)/(k·G)

die Wendestelle ist.

Die logistische Gleichung wird für viele Wachstums- und Sättigungsprozesse verwendet. Ein typisches Beispiel ist eine ideale Bakterienpopulation auf einem Nährboden begrenzter Größe. Auch die annähernde Verbreitung einer Infektionskrankheit mit anschließender permanenter Immunität kann so beschrieben werden, weil mit der Zeit immer weniger anfällige Individuen übrig bleiben; dazu passt das SI-Modell. Als Beispiel nennt der Artikel Krankheitsfälle und Todesfälle der Ebolafieber-Epidemie in Westafrika bis Juli 2014, die annähernd logistischen Funktionen folgen.

Weitere Anwendungen liegen außerhalb der Biologie: Der Lebenszyklus eines Produktes im Markt kann mit der logistischen Funktion nachgebildet werden. Außerdem wird sie für Wachstums- und Zerfallsprozesse in der Sprache verwendet, etwa im Sprachwandelgesetz beziehungsweise Piotrowski-Gesetz, sowie für Entwicklungen im Erwerb der Muttersprache, das Spracherwerbsgesetz.

Umrechnung aus exponentiellem Wachstum

Prognosen werden oft mit stetigem exponentiellem Wachstum der Form y(t)=A·e^(λ·t) angegeben, zum Beispiel bei Wirtschaftswachstum, Infektionszahlen oder Vermehrung. Solche Prognosen werden unzutreffend, sobald der betrachtete Prozess in eine Sättigungsphase kommt. Dann ist es günstiger, das exponentielle Modell durch logistisches Wachstum zu ersetzen. Die Wachstumsfaktoren k der logistischen Funktion und λ der e-Funktion unterscheiden sich dabei deutlich.

Für die Umrechnung werden zwei Punkte innerhalb der vermeintlichen exponentiellen Wachstumsphase benötigt. Der erste Punkt wird als A=f(t=0) angenommen. Liegt der zweite Punkt P(T/Y) in der exponentiellen Wachstumsphase und gilt G≫Y, dann gilt näherungsweise

G/Y - 1 ≈ G/Y

und daraus

λ ≈ (G/A)·k beziehungsweise k ≈ λ/(G/A).

Wenn die Verdopplung des Anfangsbestandes noch innerhalb der exponentiellen Wachstumsphase liegt, wird der Anfangsbestand auf f(0)=1[A] und die Zeitachse auf die Verdopplungszeit t_D normiert. Dann ist f(1[t_D])=2[A] und

λ=ln(2)≈0,693.

Mit einer Obergrenze G[A] als Vielfachem des Anfangsbestandes ergibt sich

k = -ln(((G/2)-1)/(G-1))/G.

Für G=100·[Anfangsbestand] nennt der Artikel λ≈0,6963, k≈0,007033 und λ/k=98,556≈G[A].

Wenn die Verdopplungszeit schon außerhalb des exponentiellen Wachstums liegt, ist der zweite Referenzpunkt P(T|Y) nicht mehr y(t/[t_D])=2[A]. Dann gelten

λ=ln(Y)/T

und

k=-ln(((G/Y)-1)/(G-1))/(G·T).

Im Zahlenbeispiel legt ein Kunde der FNORD-Bank ln(2) [ÖGE] an und hat nach e [NERD]-Zeiteinheiten √2 [ÖGE]. Daraus wird ein relativer Bestand von √2/ln(2)≈2,04028[A] berechnet. Für stetige Verzinsung ist λ≈0,262330. Bei logistischer Verzinsung mit Obergrenze 4π [ÖGE], also 4π/ln(2)≈18,1294·[A], ergibt sich k≈0,0157412. Außerdem gilt λ/k=16,6652≈18,1294≈(4π)/(ln 2)=G/A.