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Logistisches Wachstum
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 75 Zeilen
- logistisches wachstum was ist eine logistische wachstums funktion was hat sie mit einer exponentiellen funktion zu tun und was musste über diese funktion
- alles wissen wir fangen mit dem standard beispiel bakterien vermehren sich exponentiell ich wette das habt ihr schon zigmal gehört wo ihr das thema
- exponential funktionen gemacht habt das heißt bakterien verdoppeln sich immer in der gleichen zeit so weit so gut das ist jetzt auch hier gar nicht großartig
- anders aber wie schaut es denn in der realität aus bakterien können sich zum beispiel in einer petrischale vermehren auf einer nährlösung und diese
- petrischale ist ja nicht unendlich groß sondern hat eine festgelegte größe wie zum beispiel 30 quadratzentimeter dh die bakterien können diese ganze fläche
- besiedeln aber sobald sie an den rand stoßen wird ihr wachstum eingegrenzt und es gibt eine ganz natürliche obere schranke oder
- auch eine sättigung swerts über die die bakterien nicht hinauswachsen können eine logistische wachstums funktion kombiniert ganz wunderbar dieses
- exponentielle wachstum mit einer oberen schranke und wie das genau ausschaut das schauen uns jetzt an das funktionsmodell der logistischen wachstums funktion ist
- ein bruch im zehner steht der sättigung wert es in unserem bakterien beispiel würde also hier die zahl 30 stehen den sättigung wert kann man im
- funktionsmodell eigentlich gar nicht übersehen der nenner ist aufgebaut aus einsplus und dann kommt eine exponentielle abnahme funktion der
- parameter b ist eine positive zahl und der parameter muss eine zahl zwischen null und eins sein weil dieser teil der funktion immer eine exponentielle
- abnahme ist wir merken uns im funktionsmodell kommen drei parameter vor der sättigung wert es und die zwei parameter des exponentiellen teils der
- funktion b und a natürlich könnte man den exponentiellen teil der funktion auch durch hoch lambda anschreiben und dann wäre der parameter
- lambda eine negative zahl weil es sich eben um eine abnahme handelt genug theorie lasst uns rechnen bakterien in einer petrischale besiedeln
- eine fläche von zwei quadratzentimetern nach einem tag hat sich die besiedelte fläche um 40 prozent vergrößert die petrischale hat eine größe von 30
- quadratzentimetern wir setzen jetzt alle informationen nacheinander in das funktionsmodell 1 es gilt and von null ist gleich zwei
- weil zum zeitpunkt gleich null die besiedelte fläche zwei quadratzentimeter groß ist wie vergrößern die zahl 42 prozent und erhalten die zahl 2,8 und
- deshalb gilt n von einst ist gleich 2,8 jetzt nehmen wir die erste gleichungen von null ist gleich zwei und setzen alle zahlen in das funktionsmodell 1
- es gilt zwei ist gleich 30 durch 1 + b x h hoch 02 ist der funktions wert 30 ist der sättigung wert und die zeit 0 habe ich eingesetzt jetzt wird aus hoch 0 1
- und deswegen gilt zwei ist gleich 30 durch 1 + b und ihr seht ihr kommt jetzt nur noch der parameter bevor und wir formen die gleichung um und berechnen
- uns das baby das machen wir indem wir mit dem nenner multiplizieren also gilt zweimal klammer auf einsplus b spec 30 dann dividieren wir noch durch
- zwei subtrahieren die einst und schon steht da b ist gleich 14 durchatmen und weiter geht's wir setzen ihn gleich eins ist gleich 2,8 ins funktionsmodell ein
- und wir setzen natürlich auch unseren parameter b gleich 14 zusätzlich ein und deswegen halten wir die gleichung 2,8 ist gleich 30 durch 1 + 14 mal hoch
- 1 und eben auch eins ist jetzt formen wir das ganze nach a um in dem wir wieder mal mit dem nenner multiplizieren wir dividieren durch 2,8 subtrahieren
- die einst dividieren nochmal durch 14 und rechnen uns dann das aus und da kommt dann gerundet 0,69 raus und wir sind fertig wir haben alle drei
- parameter ausgerechnet setzen die jetzt in das funktionsmodell 1 und so schaut der graf dieser logistischen wachstums funktion aus wir
- erkennen der startwert liegt bei 2 und mit steigender zeit nähern sich die funktions werten weiter dem sättigung wert es an eine
- logistische wachstums funktion hat immer einen wendepunkt bis zu diesem wendepunkt nimmt die steigung der funktion zu und ab dem wendepunkt nimmt
- die steigen der funktion wieder ab interessant dabei ist dass der wendepunkt immer genau dort liegt wo die logistische funktion die hälfte des
- sättigung swertz erreicht hat ihr könnt euch also die position des wendepunktes wunderbar konstruieren indem er einfach eine gerade bei der hälfte des sättigung
- swertz in die grafik 1 zeichnet zum vergleich habe ich euch die exponential funktion hier blau eingezeichnet bei der die bakterien jeden tag um 40 prozent
- wachsen jetzt schauen wir uns unser funktionsmodell noch einmal an und kontrollieren ob der staat wehrt wirklich 2 beträgt dafür setze ich für
- tee gleich null in die funktion ein und aus 0,96 hoch 0 wird 1 und deswegen bleibt zum rechnen 30 durch 1 + 14 übrig und das ist natürlich 2 das gilt auch
- ganz allgemein das heißt immer wenn ihr 0 in die funktion einsetzt bleibt zum rechnen es durch 1 + b übrig und das lässt sich natürlich relativ einfach
- ausrechnen jetzt wollen wir noch die frage beantworten warum nähert sich denn jetzt diese komisch aussehenden logistische funktion dem sättigung wert
- es an am graf der funktion können wir erkennen je größer die zeit desto stärker nähert sich der funktions wert dem sättigung wert es an
- aber warum tut er das wir setzen jetzt für die zeit eine beliebige unendlich große zahl 1 wie soll denn das gehen wie soll ich
- denn eine unendliche zahl der einsätze eben genau deshalb schreiben die mathematiker limes von tee gegen unendlich vor die funktion und sagen
- damit stell dir einfach vor dass du eine sehr große zahl einsetzt und dann schauen wir was diese unendlich große zahl von themen mit der funktion macht
- in diesem fall bewirkt eine unendlich große zeit dass der exponentielle teil im funktionsmodell unendlich klein wird weil dieser teil ja eine exponentielle
- abnahme ist das schauen wir uns hier nochmal grafisch an der graf der exponentiellen abnahme funktion nähert sich mit größer werden
- derzeit der x-achse an also nähern sich die funktions werte der zahlen 0 an beachte bitte dass eine exponential funktion niemals 0 werden kann sondern
- sich nur unendlich nach der 0 nähert deswegen sagen wir dass der grenzwert einer exponentiellen abnahme funktion 0 ist zurück zu unserer logistischen
- funktion wir wissen jetzt also dass der exponentielle teil für tee gegen unendlich verschwindend klein wird und was bleibt da noch übrig von der
- funktion ja eben nur noch es durch 1 und es durch 1 ist nichts anderes als es also sagen wir der grenzwert der logistischen funktion ist der sättigung
- wert es der grenzwert begrenzt also die funktions werte der logistischen funktionen die funktions werte können also niemals genau den grenzwert
- erreichen oder schon gar nicht erst darüber hinaus wachsen an einer schule verbreitet sich ein gerücht dass drei schüler in die welt gesetzt haben
- nach vier stunden wissen es schon die hälfte der schüler die schule hat insgesamt 240 schüler bevor wir jetzt die parameter im funktionsmodell
- berechnen wollen wir uns hier eine kurze skizze machen der staat wehrt sind unsere drei schüler die sich das gerücht ausgedacht haben
- nach vier stunden wissen es schon die hälfte der schüler also 120 schüler und deswegen verläuft die funktion durch den punkt 4 und 120 die schule hat insgesamt
- 240 schüler und deshalb muss der sättigung wert es gleich 240 betragen und jetzt können wir den funktions graf hier rein skizzieren wir sehen der punkt
- 4 und 120 ist nicht irgendein beliebiger punkt sondern ist genau der wendepunkt der funktion weil der wert 120 die hälfte des sättigung swerts ist wir
- setzen uns an startwert n von null ist leicht 3 und den wendepunkten von 4 ist 120 und die sättigung menge in das funktionsmodell 1
- wir starten mit dem startwert es gilt drei ist gleich 240 durch 1 + b x h hoch 08 01 und deswegen lösen wir die gleichung 3 ist gleich 240 durch 1 + b
- wir multiplizieren mit dem nenner 1 + b dividieren jetzt drei subtrahieren 1 und erhalten b ist gleich 79 jetzt setzen wir den punkt 4
- und 120 ins funktionsmodell ein und natürlich auch für unser b den berechneten wert 79 jetzt multiplizieren wir wieder mit dem nenner dividieren
- dann im anschluss durch 120 subtrahieren 1 dividiert durch 79 und müssen jetzt noch die vierte wurzelziehen damit wir das aaa erhalten als also gleich die
- vierte wurzel von 1 durch 79 und gerundet sind das dann 0,34 so fertig wir setzen unsere berechneten parameter ins funktionsmodell ein und schauen sie
- funktionen hier nochmal an die höhe einer sonnenblume zurzeit tee kann durch folgende logistische wachstums funktionen beschrieben werden gibt den
- sättigung wert an und erkläre seine bedeutung berechnen den startwert berechnet den zeitpunkt an dem die sonnenblume am schnellsten wächst gut
- der sättigung wert ist 150 und das bedeutet die sonnenblume kann maximal 150 zentimeter hoch werden um den startwert zu berechnen setzen wie et
- gleich null in das funktionsmodell 1 aus ehe hoch - 00800 wird 1 und deswegen bleibt nur noch zum rechnen 150 durch 1 +49 also 150 durch 50 übrig und das ist
- drei der stadt wert beträgt also 3 cm jetzt wollen wir noch den zeitpunkt berechnen an dem die sonnenblume am schnellsten wächst und am schnellsten
- wächst die sonnenblume dort wo die steigungen der logistischen funktion am stärksten ist und die steigung ist am stärksten am wendepunkt der funktion der
- wendepunkt wird immer beide hälfte des sättigung swertz erreicht und deswegen müssen wir die gleichung 75 ist gleich 150 durch und so weiter erlösen um an
- das thema heran zu kommen multiplizieren wir jetzt zuerst mal mit dem nenner dann dividieren wir durch 75 subtrahieren jetzt eins dann dividieren wir durch 49
- und jetzt brauchen wir den natürlichen rhythmus ln und es steht da - 0 0 malte ist gleich allen von 1 durch 49 wenn ihr euch ein bisschen mit logo
- rhytmus gesetzen auskennt dann wisst ihr dass allen von 1 durch 49 genau dasselbe ist wie ellen von 1 - innen von 49 allen von 1 wiederum ist immer nur weil jeder
- logarithmisch von 10 ist und es bleibt auf der rechten seite - allen von 49 stehen jetzt dividieren wir noch durch minus 0,08 und es steht da tee ist
- gleich en von 49 durch 0,08 die beiden negativen vorzeichen heben sich hier natürlich auf wir erhalten eine zeit von ungefähr 48,65 das heißt unsere
- sonnenblume wächst am 49 tag am schnellsten und hier sehen wir das ganze jetzt nochmal in der grafik der startwert sind drei zentimeter
- die maximale höhe der sonnenblume sind 150 cm jetzt zeichnen wir den graf der logistischen wachstums funktion genau so dass der wendepunkt bei der hälfte des
- sättigung swertz liegt also bei 75 cm höhe und ja die lage vom wendepunkt ist tatsächlich komplett unabhängig vom staat wert und hat nur was mit dem
- sättigung wert [Musik] jetzt haben
- [Musik]
Zum Nachlesen
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Beschränktes WachstumAls beschränktes Wachstum (begrenztes Wachstum) wird in der Mathematik ein Wachstum bezeichnet, das durch eine natürliche Schranke (auch Kapazität(-sgrenze) …