Logistische Gleichung

Grundidee und demographisches Modell

Die logistische Gleichung beschreibt die Entwicklung einer Population über diskrete Zeitabschnitte, etwa Jahre. Aus der Populationsgröße Xₙ zum Zeitpunkt n wird die Größe Xₙ₊₁ nach einer Fortpflanzungsperiode berechnet. Sie ist ein wichtiges Beispiel dafür, dass aus einer einfachen nichtlinearen Gleichung sehr komplexes und sogar chaotisches Verhalten entstehen kann.

Das Modell berücksichtigt zwei gegenläufige Einflüsse:

• Durch Fortpflanzung wächst die Population geometrisch. Der Vermehrungsfaktor ist q_f.
• Durch begrenzte Nahrung und Verhungern nimmt die Population abhängig vom Abstand zu einer theoretischen Maximalgröße G ab. Die Proportionalitätskonstante ist q_v; der Hungerfaktor lautet q_h = (G − Xₙ) q_v.

Durch die Kombination beider Prozesse ergibt sich zunächst

Xₙ₊₁ = q_f q_v Xₙ (G − Xₙ).

Zur Vereinfachung wird die relative Populationsgröße xₙ = Xₙ/G verwendet. Die Größen G, q_f und q_v werden im Parameter r = G q_f q_v zusammengefasst. Damit lautet die logistische Gleichung

xₙ₊₁ = r xₙ (1 − xₙ/K).

K bezeichnet die Kapazität des Biotops, also die Population, die bei geeigneter Wahl von r dem Fixpunkt der Dynamik entspricht.

Normiertes mathematisches Modell

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann K = 1 gesetzt werden. Die Standardform lautet dann

xₙ₊₁ = r · xₙ · (1 − xₙ).

Dabei liegt xₙ zwischen 0 und 1 und stellt den relativen Anteil der Population im Jahr n dar. x₀ ist die Startpopulation im Jahr 0. Der Parameter r ist positiv und beschreibt die kombinierte Wirkung von Vermehrung und Verhungern.

Die Gleichung ist nichtlinear, weil xₙ mit dem Faktor (1 − xₙ) multipliziert wird. Genau diese Nichtlinearität ermöglicht den Übergang von stabilem Wachstum über periodische Schwankungen bis hin zu Chaos.

Verhalten bei verschiedenen Wachstumsparametern

Für große n hängt das langfristige Verhalten im Wesentlichen nur von r und nicht vom Anfangswert ab. An den Grenzen der Intervalle verhalten sich die Häufungspunkte stetig; deshalb kann eine Grenze sowohl dem vorherigen als auch dem folgenden Intervall zugerechnet werden. Häufungspunkte sind Werte oder Wertemengen, in deren Umgebung die Folge langfristig bleibt.

• Für 0 ≤ r ≤ 1 stirbt die Population in jedem Fall aus.
• Für 1 ≤ r ≤ 2 nähert sich die Population monoton dem Grenzwert (r − 1)/r.
• Für 2 ≤ r ≤ 3 nähert sie sich demselben Grenzwert alternierend: Ab einem bestimmten n liegen die Werte abwechselnd über und unter dem Grenzwert.
• Für 3 ≤ r ≤ 1 + √6, also ungefähr bis 3,45, wechselt die Folge bei fast allen Startwerten zwischen den Umgebungen zweier Häufungspunkte. Ausgenommen sind die Startwerte 0, 1 und 1 − 1/r.
• Zwischen 1 + √6 und ungefähr 3,54 treten bei fast allen Startwerten vier Häufungspunkte auf.
• Für r > 3,54 entstehen zunächst 8, dann 16, 32 und immer mehr Häufungspunkte. Die zugehörigen Bifurkationsintervalle, also Bereiche mit gleicher Anzahl von Häufungspunkten, werden immer kleiner. Das Verhältnis der Längen aufeinanderfolgender Bifurkationsintervalle nähert sich der Feigenbaum-Konstanten δ ≈ 4,6692016091029906718532038204662016172581… an.

Bei r annähernd 3,57 beginnt der chaotische Bereich. Zunächst springt die Folge noch periodisch zwischen den Umgebungen instabil gewordener Häufungspunkte. Mit wachsendem r verschmelzen diese Bereiche, bis nur noch ein Intervall übrig bleibt, in dem die Folge chaotisch ist. Dann sind keine Perioden mehr erkennbar, und kleinste Änderungen des Anfangswertes können zu sehr unterschiedlichen Folgewerten führen.

Auch zwischen 3,57 und 4 gibt es neben chaotischen Parametern wieder bestimmte r-Werte mit stabilen periodischen Orbits. Ein stabiler periodischer Orbit ist eine periodische Folge, gegen die fast jeder Anfangswert konvergiert. In der Nähe von r = 3,82 treten bei wachsendem r zunächst 3, dann 6, 12 und weitere Häufungspunkte auf. Außerdem gibt es Werte mit 5 oder mehr Häufungspunkten; grundsätzlich kommen alle Periodendauern vor.

Für die Parameterwerte gelten außerdem drei wichtige Aussagen: In jedem noch so kleinen Intervall gibt es Parameter mit stabilen periodischen Orbits; nichtchaotische Parameter sind daher dicht. Chaotische Parameter enthalten dagegen kein Intervall, besitzen aber ein positives Maß, sodass ein zufällig gewählter Parameter mit echt positiver Wahrscheinlichkeit chaotische Dynamik erzeugt. Fast jeder reelle Koeffizient r führt entweder zu einem stabilen periodischen Orbit oder im strengen Sinn zu Chaos; andere Möglichkeiten haben Wahrscheinlichkeit null.

Für r > 4 divergiert die Folge für fast alle Anfangswerte und verlässt das Intervall [0;1]. Die Folge von stabilem Verhalten über Periodenverdopplungen bis zum Chaos ist typisch für viele nichtlineare Systeme, deren Dynamik von einem Parameter abhängt.

Typische Parameterwerte

Bei der Wachstumsrate r = 1,4 verläuft die logistische Kurve S-förmig. Dagegen zeigt r = 3,81 chaotisches Verhalten; im Artikel wird der Ausbruch des Chaos ungefähr ab r = 3,6 angegeben. Die beiden Parameterwerte veranschaulichen damit den Unterschied zwischen einer geordneten Entwicklung und einer sehr empfindlichen, nichtperiodischen Dynamik.

Bifurkationsdiagramm und weitere Bezüge

Die verschiedenen langfristigen Verhaltensweisen werden im Bifurkationsdiagramm, auch Feigenbaum-Diagramm genannt, zusammengefasst. Auf der horizontalen Achse steht der Parameter r, auf der vertikalen Achse die Menge der Häufungspunkte der Folge xₙ. Sichtbar werden dadurch die stabilen Bereiche, die Periodenverdopplungen und der Übergang zum Chaos.

Eine Erweiterung des Wertebereichs von den reellen auf die komplexen Zahlen führt nach einer Koordinatentransformation zur Mandelbrotmenge. Das Diagramm kann daher auch den Zusammenhang zwischen der logistischen Gleichung und der Mandelbrotmenge veranschaulichen.

Analytische Lösung

Für r = 2 besitzt die logistische Gleichung die analytische Lösung

x(n) = 1/2 − 1/2 · (1 − 2x₀)^(2ⁿ).

Auch für r = −2 und r = 4 können analytische Lösungen angegeben werden. Für die übrigen Parameter wird das Verhalten typischerweise durch Iteration der Gleichung oder durch graphische Darstellungen wie das Bifurkationsdiagramm untersucht.