Probit

Grundidee

Ein Probit ist in der Statistik eine Zahl, die aus einer Wahrscheinlichkeit p mit 0 < p < 1 gebildet wird. Dazu wird die Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung verwendet. Die Standardnormalverteilung ist die Normalverteilung mit Mittelwert 0 und Standardabweichung 1; ihre Verteilungsfunktion wird mit Φ bezeichnet. Der Probit einer Wahrscheinlichkeit p ist daher Φ⁻¹(p). Man kann ihn auch als das p-Quantil der Standardnormalverteilung verstehen, also als den Wert, bis zu dem die Standardnormalverteilung die Wahrscheinlichkeit p angesammelt hat.

Die Umwandlung von Wahrscheinlichkeiten in Probits heißt Probit-Transformation. Sie ist wichtig, weil Wahrscheinlichkeiten nur zwischen 0 und 1 liegen, Probits aber alle reellen Werte annehmen können. Dadurch eignet sich die Probit-Funktion als Kopplungsfunktion in bestimmten statistischen Modellen, besonders im Probit-Modell, einem speziellen verallgemeinerten linearen Modell.

Definition und mathematische Eigenschaften

Für eine Wahrscheinlichkeit 0 < p < 1 heißt

probit(p) = Φ⁻¹(p)

Probit von p. Die Funktion probit: (0,1) → ℝ heißt Probit-Funktion. Wenn Wahrscheinlichkeiten p ∈ (0,1) in probit(p) ∈ ℝ transformiert werden, spricht man von einer Probit-Transformation.

Da Φ⁻¹ die Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion Φ der Standardnormalverteilung ist, ordnet die Probit-Funktion jeder Wahrscheinlichkeit genau den passenden Wert auf der Achse der Standardnormalverteilung zu.

Wichtige Regeln

Für die Probit-Funktion gelten mehrere Grundregeln:

• probit(p) < 0 für p < 1/2, probit(p) = 0 für p = 1/2 und probit(p) > 0 für p > 1/2.
• Sie besitzt die Symmetrieeigenschaft probit(1 − p) = −probit(p) für alle 0 < p < 1.
• Sie ist streng monoton: Wenn p größer wird, wird auch probit(p) größer.
• Ihre Grenzwerte sind limₚ→0 probit(p) = −∞ und limₚ→1 probit(p) = ∞.
• Sie ist differenzierbar. Ihre Ableitung lautet probit′(p) = 1 / φ(Φ⁻¹(p)) > 0 für alle 0 < p < 1, wobei φ die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet.
• Die Probit-Funktion ist invertierbar. Ihre Umkehrfunktion ist die Verteilungsfunktion Φ der Standardnormalverteilung.

Formal ist probit(p) also das p-Quantil der Standardnormalverteilung, und die Probit-Funktion ist die Quantilfunktion einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen.

Probit-Modelle in der Statistik

Die Bezeichnung Probit ist in bestimmten Anwendungsgebieten der Statistik üblich, auch als sprachliche Parallele zu Logit. Besonders wichtig ist sie in Regressionsmodellen, in denen Wahrscheinlichkeiten modelliert werden.

Bei binären Regressionsmodellen geht es um eine erklärte binäre Variable Y, die nur die Werte 0 und 1 annehmen kann. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Variable wird durch eine affin lineare Funktion erklärender Variablen beschrieben. Im Probit-Modell verbindet die Probit-Funktion die Wahrscheinlichkeit P(Yᵢ = 1) mit den erklärenden Variablen:

probit(P(Yᵢ = 1)) = β₀ + Σⱼ₌₁ᵖ βⱼ xᵢⱼ, i = 1, …, n.

Dabei ist xᵢⱼ der i-te beobachtete Wert der j-ten erklärenden Variablen, und n ist die Anzahl der Beobachtungen. Eine häufig verwendete Alternative ist das Logit-Modell. Dort wird statt der Probit-Funktion die Logit-Funktion logit(p) = ln(p/(1−p)) verwendet.

Auch bei ordinalen Regressionsmodellen kann die Probit-Funktion eingesetzt werden. Eine ordinale Variable hat eine endliche Anzahl geordneter Kategorien. Im ordinalen Probit-Modell, in der Variante des kumulativen Modells, werden für eine kategoriale Variable mit K Kategorien die Wahrscheinlichkeiten P(Yᵢ ≤ k) für k = 1, …, K so modelliert:

probit(P(Yᵢ ≤ k)) = β₀ₖ + Σⱼ₌₁ᵖ βⱼ xᵢⱼ, i = 1, …, n.

Dabei gilt β₀₁ ≤ β₀₂ ≤ … ≤ β₀ₖ. Auch hier kann statt der Probit-Funktion die Logit-Funktion verwendet werden.

Einordnung der Anwendungen

In der Ökonometrie wird das Probit-Modell gerne verwendet. Ein Grund ist, dass es als Schwellenwert-Modell mit einem latenten, also nicht direkt beobachteten, normalverteilten Fehlerterm interpretiert werden kann.

In biometrischen Anwendungen wird dagegen überwiegend die Logit-Variante des Modells verwendet. Der Grund ist, dass Logits Logarithmen der Odds sind, beziehungsweise der kumulativen Odds im ordinalen Modell. Odds und Chancenverhältnisse spielen in der Biometrie eine wichtige Rolle.

Abweichende Bedeutung in der Biometrie

In der Biometrie bezeichnet Probitanalyse ein Teilgebiet zur Untersuchung von Dosis-Wirkung-Beziehungen. Dort werden die Begriffe Probit und Probit-Transformation in einer verwandten, aber abweichenden Bedeutung verwendet.

Für eine Zufallsvariable X, deren dekadischer Logarithmus lg X einer Normalverteilung mit den Parametern μ und σ² genügt, ist die Zufallsvariable (lg X − μ)/σ standardnormalverteilt. Die Zufallsvariable 5 + (lg X − μ)/σ nimmt mit sehr großer Wahrscheinlichkeit positive Werte an. Deshalb heißt in diesem Zusammenhang die Transformation der Messwerte

x ↦ 5 + (lg x − μ)/σ

Probit-Transformation. Der zu einer Wahrscheinlichkeit p gehörende Probit wird hier als Φ⁻¹(p) + 5 definiert. Diese biometrische Verwendung ist also nicht identisch mit der allgemeinen statistischen Definition probit(p) = Φ⁻¹(p), sondern um 5 verschoben.