Logarithmische Darstellung

Grundidee und Nutzen

Eine logarithmische Darstellung ist eine Diagrammform, bei der die auf einer Achse dargestellte Größe proportional zum Logarithmus ihres Zahlenwerts aufgetragen wird. Das bedeutet: Gleiche Abstände auf der Achse stehen nicht für gleiche Differenzen, sondern für gleiche Verhältnisse der dargestellten Größe. Die Achse wird trotzdem mit den ursprünglichen Zahlenwerten beschriftet, nicht mit deren Logarithmen.

Diese Darstellung kann in einem Diagramm auf eine Achse oder auf beide Achsen angewendet werden. Sie ist besonders nützlich, wenn Werte über viele Größenordnungen verteilt sind, also zum Beispiel sehr kleine und sehr große Werte gleichzeitig vorkommen. Weil die Abstände auf der Achse von Verhältnissen abhängen, bleiben auch kleine Werte besser lesbar.

Darstellungsarten

Wenn numerische Zusammenhänge im Vordergrund stehen, wird meist der dekadische Logarithmus verwendet, also der Logarithmus zur Basis 10. Bei eher grundsätzlichen oder theoretischen Betrachtungen nutzt man den natürlichen Logarithmus.

Man unterscheidet einfachlogarithmische und doppeltlogarithmische Darstellungen. Bei einer einfachlogarithmischen Darstellung ist eine Achse logarithmisch skaliert. Bei einer doppeltlogarithmischen Darstellung sind beide Achsen logarithmisch skaliert.

Ein Beispiel aus der Elektrotechnik ist das Bode-Diagramm eines Tiefpasses. Es zeigt die Übertragungsfunktion über einen Frequenzbereich von mehr als vier Zehnerpotenzen. Vor der Einführung von Computergrafiken wurde dafür häufig Logarithmenpapier verwendet, entweder einfachlogarithmisches oder doppeltlogarithmisches Papier. Computergrafiken haben logarithmische Skalen leichter nutzbar gemacht und die Verwendung solchen Papiers stark reduziert.

Mathematische Modellierung

Für die mathematische Beschreibung kann man neue Variablen einführen: X = log(x) und Y = log(y). Dadurch werden bestimmte Funktionszusammenhänge einfacher sichtbar. Umgekehrt kann man aus einem geradlinigen Verlauf von Messpunkten bei passend geteilten Achsen auf die zugrunde liegende Funktion schließen.

Ein Potenzgesetz wird in doppelt logarithmischer Darstellung zu einer Geraden: y = a x^b ⇒ Y = log(a) + bX. Wenn diese Gerade bei gleichen Maßstäben auf beiden Achsen nach rechts unter einem Winkel von 45° fällt, weist das auf b = -1 hin, also auf umgekehrte Proportionalität.

Ein exponentieller Verlauf wird in einfach logarithmischer Darstellung als Gerade sichtbar: y = a e^(bx) ⇒ Y = log(a) + bx · log(e). Eine Funktion in Form einer Normalverteilung, also einer gaußschen Glockenkurve, wird in einfach logarithmischer Darstellung zu einer Parabel: y = a e^(bx^2) ⇒ Y = log(a) + bx^2 · log(e).

Logarithmische Normalverteilung und Spezialskalen

Eine Funktion in Form einer logarithmischen Normalverteilung verändert ihre Gestalt je nach Darstellung: In einfach logarithmischer Darstellung wird sie zu einer Normalverteilung, in doppelt logarithmischer Darstellung zu einer Parabel. Die im Artikel angegebenen Formen sind y = a e^(b(log(x))^2) ⇒ y = a e^(bX^2) und y = a e^(b(log(x))^2) ⇒ Y = log(a) + bX^2 · log(e).

Für bestimmte Anwendungen wird eine Achse sogar als Logarithmus des Logarithmus skaliert, also log(log(y)). Das kommt zum Beispiel bei der grafischen Darstellung von Öl-Viskositäten nach Ubbelohde-Walther oder im Weibull-Wahrscheinlichkeitspapier vor. Eine solche zweifach logarithmierte Achse wird gelegentlich ebenfalls als doppelt-logarithmisch bezeichnet.