Bode-Diagramm

Grundidee und Zweck

Ein Bode-Diagramm beschreibt das Übertragungsverhalten eines dynamischen Systems, also dessen Frequenzantwort oder Frequenzgang. Es besteht aus zwei übereinander angeordneten Funktionsgraphen: Der erste zeigt den Betrag des Frequenzgangs, also die Amplitudenverstärkung, der zweite dessen Argument, also die Phasenverschiebung, jeweils in Abhängigkeit von der Frequenz oder Kreisfrequenz.

Damit wird dargestellt, wie ein System auf eine harmonische Anregung, also eine Sinusschwingung, am Eingang im stationären Zustand für t → ∞ reagiert. Amplitudenverstärkung und Phase derselben Frequenz stehen im Diagramm vertikal übereinander. Für ein lineares zeitinvariantes System (LZI-System) mit n Eingängen und m Ausgängen sind n · m Diagramme erforderlich.

Bode-Diagramme werden unter anderem in Elektronik und Elektrotechnik, Regelungstechnik, Mechatronik und Impedanzspektroskopie verwendet.

Einordnung in die Systembeschreibung

Das Bode-Diagramm wird aus mathematischen Systembeschreibungen durch Differentialgleichungen hergeleitet und berechnet. Es beschreibt den Frequenzgang eines dynamischen Systems.

Andere Darstellungen verfolgen andere Ziele: Das Nyquist-Diagramm stellt den Frequenzgang als Ortskurve dar, während das Pol-Nullstellen-Diagramm die Lage von Polen und Nullstellen zeigt. Das Nyquist-Diagramm und das Pol-Nullstellen-Diagramm werden insbesondere für die Stabilitätsbetrachtung verwendet; das Bode-Diagramm dient dagegen vor allem zur übersichtlichen Darstellung von Verstärkung und Phase über der Frequenz.

Achsen und Grundelemente

Die Frequenz beziehungsweise Kreisfrequenz wird auf der x-Achse logarithmisch aufgetragen. Dadurch lässt sich das Verhalten über einen großen Frequenzbereich auf einen Blick erkennen.

Der obere Graph ist der Amplitudengang. Auf seiner y-Achse wird der Betrag des Frequenzgangs entweder in Dezibel oder in logarithmischer Skalierung dargestellt. Der untere Graph ist der Phasengang. Seine y-Achse zeigt die Phasenverschiebung beziehungsweise das Argument des Frequenzgangs auf einer linearen Skala.

Die logarithmische Darstellung erleichtert die Zerlegung komplexer Übertragungsfunktionen. Eine Funktion kann durch Faktorisieren in Teilfunktionen erster und zweiter Ordnung zerlegt werden. Bei einer Reihenschaltung von Übertragungsgliedern werden die Amplitudengänge addiert, weil die logarithmisch dargestellte Verstärkung die Multiplikation der Teilfunktionen in eine Addition umwandelt. Die Phasengänge addieren sich ebenfalls, jedoch ohne logarithmische Skalierung.

Typische Grundglieder sind:

• P-Glied mit Übertragungsfunktion K: Der Amplitudengang beträgt 20 · lg |K|. Die Phase ist 0 für K ≥ 0 und −π für K < 0.
• D-Glied mit s/ω₀: Der Amplitudengang steigt mit +20 dB/Dekade und beträgt bei ω₀ 0 dB. Die Phase ist konstant +π/2. Für −s/ω₀ bleibt der Amplitudengang gleich, die Phase ist konstant −π/2.
• I-Glied mit ω₀/s: Der Amplitudengang fällt mit −20 dB/Dekade und beträgt bei ω₀ 0 dB. Die Phase ist konstant −π/2. Für −ω₀/s ist sie konstant +π/2.
• PD-Glied mit 1 + s/ω₀: Ab dem Knick bei ω₀ steigt der Amplitudengang mit +20 dB/Dekade. Die Phase verläuft von 0 auf +π/2 über zwei Dekaden und beträgt bei ω₀ +π/4.
• PT1-Glied mit 1/(1 + s/ω₀): Ab dem Knick bei ω₀ fällt der Amplitudengang mit −20 dB/Dekade. Die Phase verläuft von 0 auf −π/2 über zwei Dekaden und beträgt bei ω₀ −π/4.
• PT2-Glied mit 1/(1 + 2d·s/ω₀ + s²/ω₀²): Ab dem Knick bei ω₀ fällt der Amplitudengang mit −40 dB/Dekade. Die Phase verläuft von 0 auf −π über zwei Dekaden; ihre Stauchung hängt vom Dämpfungsgrad d ab.

Die Angaben zum Phasenverlauf über zwei Dekaden sind Näherungen. Für ein PT1-System F(s) = 1/(s/ω₀ + 1) gilt beispielsweise φ(0,1 · ω₀) = −arctan 0,1 = 5,75° und φ(10 · ω₀) = −arctan 10 = 84,3°; die Vorzeichen entsprechen dabei dem im Artikel angegebenen Betrag der Phasenänderung.

Tiefpass, Identifikation und weitere Systeme

Ein einfacher Tiefpass, beispielsweise ein RC-Glied, ist ein PT1-System mit

F(s) = K · 1/(1 + T₁s).

K ergibt sich aus dem Verhältnis von Ausgangsgröße zu Eingangsgröße bei kleiner Frequenz. Bei Erreichen der Eck- beziehungsweise Grenzfrequenz f_E sind Realteil und Imaginärteil des Nenners gleich. Dann beträgt die Phasenverschiebung −π/4 und die Verstärkung 1/√2 ≈ −3 dB ≈ 0,71.

Im doppelt logarithmischen Bode-Diagramm kann der Verlauf idealisiert durch Geradenstücke angenähert werden. Beim Tiefpass liegt die Eckfrequenz am Schnittpunkt der horizontalen und der abfallenden Geraden; die reale Funktion ist dort bereits um −3 dB abgefallen. Bei proportionalem Verhalten kann die Verstärkung bei sehr kleinem s an der y-Achse abgelesen werden, beispielsweise K = 0 dB = 1.

Steigung und Phasenverlauf erlauben die Identifikation eines Systems. Beim PT1-System beträgt die Steigung oberhalb f_E −1:1. Eine Verdopplung der Frequenz halbiert daher die Amplitude und entspricht −6 dB; eine Verzehnfachung verringert die Verstärkung auf ein Zehntel beziehungsweise um −20 dB. Die Phase beträgt bei f_E −45° und strebt für f → ∞ gegen −90°.

Zwei in Reihe geschaltete PT1-Systeme ergeben ein PT2-System mit einer Dämpfung D > 1. Oberhalb der ersten Eckfrequenz beträgt die Steigung −1:1, nach der zweiten Eckfrequenz −2:1. Liegen die Eckfrequenzen weit genug auseinander, beträgt die Phase bei der ersten Eckfrequenz −45° und bei der zweiten −90°.

Ein schwingungsfähiges PT2S-System, zum Beispiel ein RLC-Schwingkreis, kann durch einen komplexen Pol oder ein Polynom zweiter Ordnung beschrieben werden:

F(s) = K · 1/(1 + 2Ds/ω₀ + s²/ω₀²).

Oberhalb der Eckfrequenz beträgt die Steigung −2:1. Die Phase beträgt an der Eckfrequenz −90° und strebt im Unendlichen gegen −180°. Abhängig von D kann eine Resonanzüberhöhung auftreten.

Bei einem Integrator beziehungsweise I-System gibt es bei kleinen Frequenzen keinen horizontalen Abschnitt; der Verlauf beginnt sofort mit der Steigung −1:1:

F(s) = 1/(T_I · s).

Beim Differenzierer beziehungsweise D-System beginnt die Steigung sofort mit +1:1:

F(s) = T_D · s.

Für ω₀ = 1 s⁻¹ kann die Integrations- beziehungsweise Differentiationszeitkonstante aus dem Diagramm abgelesen werden. Sie kann auch als Verstärkung betrachtet werden; Systeme weisen grundsätzlich P-, I- oder D-Verhalten auf.