Weibull-Verteilung

Grundidee und Parameter

Die Weibull-Verteilung ist eine zweiparametrige Familie stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen für positive reelle Werte. Sie ist besonders wichtig, weil sie je nach Parameter sehr unterschiedliche Formen und sowohl fallende als auch konstante oder steigende Ausfallraten darstellen kann. Deshalb wird sie unter anderem für Lebensdauern, Zuverlässigkeit, Materialfestigkeiten, Partikelgrößen und Windgeschwindigkeiten eingesetzt.

Die zweiparametrige Form besitzt den Formparameter k>0 und den inversen Skalenparameter λ>0. Ihr Träger ist {x∈ℝ: x≥0}. Der eigentliche Skalenparameter ist 1/λ. Häufig schreibt man dafür die charakteristische Lebensdauer T mit T=1/λ beziehungsweise T·λ=1. Bei Lebensdaueranalysen ist T die Zeitspanne, nach der ungefähr 63,2 % der Einheiten ausgefallen sind. Ist kein Skalenparameter angegeben, wird λ=1 angenommen.

Der Formparameter k, auch Weibull-Modul und teilweise b oder β genannt, bestimmt die Gestalt der Verteilung. Typische praktische Werte liegen zwischen 0,25 und 5. Wichtige Sonderfälle sind:

• k=1: Exponentialverteilung mit konstanter Ausfallrate.
• k=2: Rayleigh-Verteilung.
• k≈3,602: verschwindende Schiefe und damit eine der Normalverteilung ähnliche Form.
• k<1: eine Verteilung mit schweren Rändern, deren Dichte langsamer als exponentiell abfällt.

Funktionen und Kennwerte

Für λ,k>0 lautet die Dichtefunktion

f(x)=λ·k·(λ·x)^(k−1)·e^(−(λ·x)^k) für x>0,

und f(x)=0 sonst. Die Dichte beschreibt, wie sich die Wahrscheinlichkeit über die möglichen Werte verteilt.

Die Verteilungsfunktion, also die Wahrscheinlichkeit P(X≤x), ist

F(x)=1−e^(−(λ·x)^k) für x≥0,

und F(x)=0 sonst. Die Überlebens- oder Zuverlässigkeitsfunktion gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Lebensdauer x überschritten wird:

R(x)=1−F(x)=e^(−(λ·x)^k) für x≥0,

und R(x)=1 sonst.

Die Ausfallrate, also das momentane Ausfallrisiko unter der Bedingung, dass das Objekt bis x überlebt hat, beträgt

h(x)=f(x)/R(x)=λ·k·(λ·x)^(k−1) für x≥0,

und h(x)=0 sonst. Für k<1 fällt sie, für k=1 ist sie konstant und für k>1 steigt sie.

In der Parametrisierung mit T=1/λ wird häufig

f_(k,T)(x)=(k/T)·(x/T)^(k−1)·e^(−(x/T)^k) für x>0

verwendet. Hier ist T unmittelbar der Skalenparameter.

Mit der Gammafunktion Γ sind Erwartungswert und Varianz

E(X)=(1/λ)·Γ(1+1/k)

und

Var(X)=(1/λ²)·[Γ(1+2/k)−Γ²(1+1/k)].

Für μ=E(X) und σ=√Var(X) lautet die Schiefe

v(X)=[Γ(1+3/k)/λ³−3μσ²−μ³]/σ³.

Die Entropie in nats beträgt

((k−1)γ)/k−ln(λk)+1,

wobei γ die Euler-Mascheroni-Konstante ist.

Lebensdauer und Zuverlässigkeit

In der Ereigniszeitanalyse dient die Weibull-Verteilung als parametrisches Modell für Lebensdauern. Anders als die Exponentialverteilung kann sie die Vorgeschichte beziehungsweise Alterung eines Objekts berücksichtigen. Bei technischen Systemen mit mehreren Ausfallursachen lassen sich drei Weibull-Verteilungen zu einer „Badewannen-Kurve“ verbinden:

• Frühausfälle mit k<1, etwa während der Einlaufphase oder aufgrund von „Kinderkrankheiten“.
• Zufällige Ausfälle mit k=1 während der Betriebsphase.
• Ermüdungs- und Verschleißausfälle mit k>1 am Ende der Produktlebensdauer.

Zur grafischen Auswertung wird die Verteilung in der Form

ln(ln(1/(1−F(x))))=k·ln(x)−k·ln(T)

in ein doppelt logarithmisches Diagramm, das Weibullnetz, eingetragen. Es entsteht eine Gerade. Ihre Steigung ist k. Aus dem y-Achsenabschnitt a folgt die charakteristische Lebensdauer

T=exp[−(a/k)].

Treten Ausfälle erst nach einer anfänglichen Betriebszeit t₀ auf, kann dies durch

F(t)=1−exp[−((t−t₀)/T*)^k]

mit T*=T−t₀ berücksichtigt werden. Im Weibullnetz entsteht zunächst eine nach oben konvexe Kurve. Werden alle Punkte um t₀ verschoben, geht sie in eine Gerade über.

Technische und naturwissenschaftliche Anwendungen

Bei spröden Werkstoffen wie Technischer Keramik können Poren, Risse, Einschlüsse oder Kratzer einen Bruch auslösen. Unter der Annahme einer minimalen Festigkeit σᵤ=0 wird die zufällige Festigkeit σ beschrieben durch

F(σ)=1−exp[−(σ/σ₀)^m].

Dabei ist σ₀ die charakteristische Spannung und m der Weibull-Modul. Für technische Keramiken liegt m typischerweise zwischen 10 und 20.

Analog hängt die dielektrische Durchschlagfestigkeit eines Isolierwerkstoffs von seiner größten Schwachstelle ab. Bei gleichen Versuchsbedingungen und unter der Annahme, dass schon bei sehr kleinen Spannungen ein Ausfall möglich ist, gilt

F(u_d)=1−exp[−(u_d/u_d63)^δ].

Hier ist u_d63 der „63-%-Wert“ und δ der „Weibull-Exponent“.

In der mechanischen Verfahrenstechnik wird die Weibull-Verteilung als Partikelgrößenverteilung verwendet. Diese Anwendung heißt Rosin-Rammler-Verteilung oder Rosin-Rammler-Sperling-Bennet-Verteilung, kurz RRSB-Verteilung.

Auch Windgeschwindigkeitshäufigkeiten lassen sich mit ihr modellieren. Eine Normalverteilung ist dafür oft ungeeignet, weil Windgeschwindigkeiten nicht negativ sind und ihre Verteilung nicht symmetrisch ist. Im beschriebenen Beispiel ergeben die angepassten Parameter λ=1/5,1=0,194 und k=2,00 einen Erwartungswert von 4,5 m/s. Dieser stimmt gut mit dem aus den Messwerten bestimmten Wert von 4,6 m/s überein.

Erweiterungen und verwandte Verteilungen

Die dreiparametrige Weibull-Verteilung ergänzt die zweiparametrige Form um einen Lage- beziehungsweise Verschiebungsparameter c∈ℝ. Eine Zufallsvariable X ist dreiparametrig Weibull-verteilt, wenn X−c zweiparametrig Weibull-verteilt ist. Für T=1/λ>0 und k>0 lautet ihre Dichte

f_(k,T,c)(x)=0 für x≤c,

f_(k,T,c)(x)=(k/T)·((x−c)/T)^(k−1)·e^(−((x−c)/T)^k) für x>c.

Ist X′ zweiparametrig Weibull-verteilt und X=X′+c, dann gilt

E[X]=c+E[X′] und Var[X]=Var[X′].

Die Verschiebung verändert also den Erwartungswert, aber nicht die Varianz. Für festes k bilden die Verteilungen mit den Parametern T und c eine Lage-Skalen-Familie.

Ist X Weibull-verteilt, so besitzt Y=−X eine gespiegelte Weibull-Verteilung. Dabei gilt P(X>0)=1 und P(Y<0)=1. Aus der Verteilungsfunktion F_X folgt

F_Y(t)=1−F_X(−t), t∈ℝ.

Die Familie

Ψ_α(x)=exp(−(−x)^α) für x≤0 und Ψ_α(x)=1 für x>0, α>0,

tritt in der Extremwerttheorie als möglicher Verteilungstyp für Maxima unabhängig und identisch verteilter Zufallsvariablen auf. Sie heißt Extremwertverteilung vom Typ III oder vom Weibull-Typ. Manche Autoren nennen auch diese gespiegelten Verteilungen Weibull-Verteilungen.

Die Exponentialverteilung ist der Spezialfall k=1. Sie eignet sich für eine konstante Ausfallrate λ; für steigende Ausfallraten verwendet man k>1, für fallende k<1. Ist X exponentialverteilt mit Exp(λ), dann besitzt Y=X^(1/k) für k>0 die Weibull-Verteilung Wei(λ^(1/k),k), denn

F_Y(y)=1−e^(−λy^k)=1−e^(−(λ^(1/k)y)^k), y>0.

Die Überlebensfunktion

1−F(x)=e^(−(λx)^k)

wird auch als gestreckte Exponentialfunktion bezeichnet.