Liste univariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Grundidee und wichtige Begriffe

Univariate (eindimensionale) Wahrscheinlichkeitsverteilungen beschreiben, wie sich Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Ergebnisse einer Zufallsvariable X verteilen. Sie sind wichtig, um Zufallsvorgänge mit genau einer betrachteten Größe mathematisch zu erfassen.

Diskrete Verteilungen gelten auf einer endlichen oder abzählbaren Menge möglicher Werte. Ihre Zähldichte f(k) gibt die Wahrscheinlichkeit an, genau den Wert k zu erhalten. Stetige Verteilungen sind meist auf Intervallen definiert. Für einen einzelnen Wert ist ihre Wahrscheinlichkeit stets 0; relevant sind Wahrscheinlichkeiten für Intervalle. Bei einer Dichtefunktion f(x) gilt: P(a ≤ X ≤ b) = ∫ₐᵇ f(x) dx.

Zu den zentralen Kenngrößen zählen der Träger (die möglichen Werte), die Verteilungsfunktion F(x) = P(X ≤ x), der Erwartungswert als langfristiger Mittelwert und die Varianz als Maß der Streuung. ⌈·⌉ bezeichnet die Aufrundungs- und ⌊·⌋ die Abrundungsfunktion.

Diskrete Verteilungen mit begrenztem Wertebereich

Bei der diskreten Gleichverteilung sind n Werte k₁, …, kₙ gleich wahrscheinlich: f(kᵢ) = 1/n. Der Erwartungswert ist (1/n)Σᵢ₌₁ⁿ kᵢ, die Varianz ist (1/n)(Σᵢ₌₁ⁿ kᵢ² − (1/n)(Σᵢ₌₁ⁿ kᵢ)²). Für x gilt P(X ≤ x) = |{i: kᵢ ≤ x}|/n.

Die Bernoulli-Verteilung hat den Träger {0,1} und den Parameter p ∈ [0,1]. Es gilt P(X = 1) = p und P(X = 0) = 1 − p. Erwartungswert und Varianz sind p beziehungsweise p(1 − p).

Die Binomialverteilung besitzt die Parameter n ∈ ℕ⁺ und p ∈ [0,1], den Träger {0,1,…,n} und die Zähldichte f(k) = (n über k)pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Ihr Erwartungswert ist np, ihre Varianz np(1 − p). Die Verteilungsfunktion ergibt sich durch Aufsummieren der Zähldichten von i = 0 bis ⌊x⌋.

Die hypergeometrische Verteilung verwendet N ∈ ℕ⁺, M ∈ ℕ⁺ mit M ≤ N und n ∈ ℕ⁺ mit n ≤ N. Ihr Träger ist {max(0,n+M−N),…,min(n,M)}; die Zähldichte lautet f(k) = [(M über k)(N−M über n−k)]/(N über n). Erwartungswert: nM/N. Varianz: n(M/N)(1−M/N)(N−n)/(N−1). Die im Artikel angegebene Verteilungsfunktion summiert von max(0,n−N) bis ⌊x⌋ beziehungsweise ⌈x−1⌉ und verwendet dabei [(M über i)(N über n−i)]/(M+N über n).

Weitere diskrete Verteilungen

Bei der negativen Binomialverteilung (Pascal-Verteilung) gelten r ∈ ℕ⁺ und p ∈ ]0,1]; der Träger umfasst alle k ≥ r. Die Zähldichte ist P(X = k) = (k−1 über r−1)pʳ(1−p)ᵏ⁻ʳ. Erwartungswert und Varianz sind r/p beziehungsweise r(1−p)/p².

Die geometrische Verteilung hat zwei Varianten mit p ∈ ]0,1[. In Variante A ist der Träger ℕ⁺, f(k) = p(1−p)ᵏ⁻¹, der Erwartungswert 1/p und die Varianz 1/p² − 1/p. In Variante B ist der Träger ℕ₀, f(k) = p(1−p)ᵏ, der Erwartungswert 1/p − 1 und dieselbe Varianz. Die Verteilungsfunktionen sind in A P(X ≤ x) = 1−(1−p)^⌊x⌋ und in B P(X ≤ x) = 1−(1−p)^⌊x+1⌋.

Die Poisson-Verteilung hat λ ∈ ℝ⁺, den Träger ℕ₀ und f(k) = (λᵏ/k!)·e⁻λ. Erwartungswert und Varianz sind beide λ. Ihre Verteilungsfunktion ist die Summe von (λⁱ/i!)e⁻λ für i von 0 bis ⌊x⌋.

Bei der logarithmischen Verteilung ist p ∈ (0,1), der Träger ℕ⁺ und f(k) = (pᵏ/k)·1/[−ln(1−p)]. Erwartungswert: p/[−(1−p)ln(1−p)]. Varianz: p(−ln(1−p)−p)/[(1−p)²ln²(1−p)].

Grundlegende stetige Verteilungen

Die stetige Gleichverteilung auf [a,b] mit a < b hat die konstante Dichte f(x) = 1/(b−a) für a < x ≤ b, sonst 0. Ihre Verteilungsfunktion steigt im Intervall linear: F(x) = (x−a)/(b−a). Erwartungswert und Varianz sind (a+b)/2 beziehungsweise (b−a)²/12.

Die Dreiecksverteilung hat Parameter a ≤ c ≤ b und a < b sowie den Träger [a,b]. Ihre Dichte steigt von a bis c mit 2(x−a)/[(b−a)(c−a)] und fällt von c bis b mit 2(b−x)/[(b−a)(b−c)]; bei x = c ist sie 2/(b−a). Es gilt E(X) = (a+b+c)/3 und Var(X) = [(a−b)²+(b−c)²+(a−c)²]/36.

Die Normalverteilung mit μ ∈ ℝ und σ ∈ ℝ⁺ hat den Träger ℝ und die Dichte f(x) = [1/(σ√(2π))]e^(−½((x−μ)/σ)²). Erwartungswert und Varianz sind μ und σ². Ihre Verteilungsfunktion ist das Integral dieser Dichte von −∞ bis x.

Die logarithmische Normalverteilung hat ebenfalls μ und σ, aber den Träger ℝ₀⁺. Für x > 0 lautet ihre Dichte f(x) = 1/(σ√(2π))e^(−½((ln x−μ)/σ)²); für x ≤ 0 ist F(x) = 0. Erwartungswert: exp(μ+σ²/2); Varianz: exp(2μ+σ²)(exp(σ²)−1).

Die Exponentialverteilung mit α ∈ ℝ⁺ hat auf ℝ₀⁺ die Dichte f(x) = αe^(−αx). Für x > 0 ist F(x) = 1−e^(−αx). Erwartungswert und Varianz sind 1/α und 1/α².

Stetige Verteilungen mit Gamma- und Betafunktionen

Die Chi-Quadrat-Verteilung mit n ∈ ℕ⁺ hat den Träger ℝ₀⁺ und die Dichte fₙ(x) = [1/(2ⁿ⁄²Γ(n/2))]xⁿ⁄²⁻¹ exp{−x/2}. Für x > 0 gilt F(x) = 1−Γ(n/2,x/2)/Γ(n/2). Erwartungswert und Varianz sind n und 2n.

Die Studentsche t-Verteilung mit k ∈ ℕ⁺ hat den Träger ℝ und die Dichte Γ((k+1)/2)/(Γ(k/2)√(kπ))^(-(k+1)/2). Ihr Erwartungswert ist 0, ihre Varianz k/(k−2).

Die F-Verteilung besitzt m,n ∈ ℕ⁺, den Träger ℝ₀⁺ und eine Dichte proportional zu x^(m/2−1)(1+(m/n)x)^(-(m+n)/2), mit dem Faktor Γ((m+n)/2)(m/n)^(m/2)/[Γ(m/2)Γ(n/2)]. Der Erwartungswert n/(n−2) ist nur für n > 2 definiert, die Varianz 2n²(m+n−2)/[m(n−2)²(n−4)] nur für n > 4.

Die Gammaverteilung mit p,b ∈ ℝ⁺ hat f(x) = [bᵖ/Γ(p)]xᵖ⁻¹e⁻ᵇˣ auf ℝ₀⁺. Erwartungswert und Varianz sind p/b und p/b². Die Beta-Verteilung mit p,q ∈ ℝ⁺ liegt auf [0,1] und hat f(x) = xᵖ⁻¹(1−x)q⁻¹/B(p,q). Erwartungswert: p/(p+q); Varianz: pq/[(p+q+1)(p+q)²]. Γ(r) bezeichnet die Gammafunktion, B(p,q) die Betafunktion.

Weitere stetige Verteilungen und Sonderfälle

Die logistische Verteilung mit α ∈ ℝ und β ∈ ℝ⁺ hat auf ℝ die Dichte e^(−(x−α)/β)/[β(1+e^(−(x−α)/β))²] und F(x) = 1/[1+e^(−(x−α)/β)]. Erwartungswert: α; Varianz: β²π²/3.

Die Weibull-Verteilung mit α,β ∈ ℝ⁺ hat auf ℝ₀⁺ die Dichte f(x) = αβx^(β−1)e^(−αxᵝ). Für x > 0 ist F(x) = 1−e^(−αxᵝ), sonst 0. Erwartungswert: α^(−1/β)Γ(1/β+1). Varianz: α^(−2/β)[Γ(2/β+1)−Γ(1/β+1)²].

Die Cauchy-Verteilung mit s ∈ ℝ⁺ und t ∈ ℝ liegt auf ℝ. Ihre Dichte lautet f(x) = (1/π)·s/[s²+(x−t)²], ihre Verteilungsfunktion F(x) = 1/2+(1/π)arctan((x−t)/s). Erwartungswert und Varianz sind nicht definiert.

Die Pareto-Verteilung mit x_min,k ∈ ℝ⁺ hat den Träger [x_min,∞), die Dichte f(x) = k/x_min^(k+1) und F(x) = 1−(x_min/x)ᵏ. Ihr Erwartungswert ist x_min·k/(k−1) für k > 1, sonst ∞. Die Varianz ist x_min²·k/[(k−2)(k−1)²] für k > 2, sonst ∞.