Kostenfunktion (Wirtschaft)

Begriff und Bedeutung

Eine Kostenfunktion (auch Kostenkurve) ist in Betriebswirtschaftslehre und Volkswirtschaftslehre die mathematische Beziehung zwischen den Kosten und einer Bezugsgröße. Meist ist diese Bezugsgröße die Ausbringungsmenge, also die produzierte Gütermenge.

Sie beschreibt die Kosten K, die innerhalb einer Rechnungsperiode in einem Produktionsprozess anfallen, in Abhängigkeit von der Menge x. Der Verlauf hängt von der verwendeten Produktionstechnik und den Faktorpreisen ab. Kostenfunktionen können empirisch mithilfe einer Regressionsanalyse ermittelt oder aus Annahmen über Produktionsfunktionen deduktiv abgeleitet werden.

Aufbau und Herleitung

Die Gesamtkostenfunktion K(x) gibt alle Gesamtkosten an, die entstehen, wenn bei gegebenen Faktorpreisen q eine Menge x produziert wird. Die zugrunde liegende Technologie kann durch die Produktionsfunktion x = f(r) beschrieben werden. Formal gilt: K = K(x).

Die Gesamtkosten bestehen aus Fixkosten K_f und variablen Kosten K_v. Fixkosten sind unabhängig von der Ausbringungsmenge. Deshalb ist die Kostenfunktion im Allgemeinen inhomogen und enthält ein Absolutglied.

Kostenfunktionen lassen sich insbesondere aus der Gutenberg-Produktionsfunktion oder einer substitutionalen Produktionsfunktion ableiten. Die erste Ableitung der Kostenfunktion heißt Grenzkosten K'(x). Sie gibt an, wie stark die Kosten bei einer zusätzlichen produzierten Einheit zunehmen.

Kostenverläufe

Proportionale oder lineare Kosten verändern sich im gleichen Verhältnis wie die Bezugsgrößenmenge. Die Stückkosten bleiben konstant und entsprechen den Grenzkosten.

Degressive oder unterproportionale Kosten steigen bei zunehmender Menge langsamer. Dadurch sinken die Stückkosten. Ursachen können Mengenrabatte oder ein Lernkurveneffekt sein: Der dritte produzierte PC kann schneller hergestellt werden als der erste.

Progressive oder überproportionale Kosten steigen stärker als die Menge; die Stückkosten nehmen zu, etwa durch Überstunden. Regressive Kosten und ihre Stückkosten sinken bei steigender Bezugsgrößenmenge, beispielsweise Heizkosten in Veranstaltungsräumen bei wachsender Besucherzahl.

Fixe Kosten bleiben unabhängig von der Bezugsgröße konstant. Die Stückkostenfunktion verläuft degressiv, die Grenzkosten sind 0. Sprungfixe oder intervallfixe Kosten bleiben innerhalb bestimmter Mengenintervalle gleich und springen zwischen den Intervallen auf ein anderes Niveau; der Graph ist treppenförmig.

Reziproke Kosten haben einen r-l-Wendekurvenverlauf: eine reziprok „s-förmige“ beziehungsweise degressiv-progressive, nichtlineare Funktion.

Formen, Kennzahlen und nichtlinearer Verlauf

Für proportionale Kosten gilt K(x) = c·x; Grenzkosten und Stückkosten k(x) sind jeweils c. Bei degressiven Kosten lautet eine allgemeine Form K(x) = x^(c/a), als Beispiel √x; dabei ist K'(x) = (c/a)·x^(c/a−1) und k(x) = x^(c/a−1). Zusätzlich gilt für degressive Kosten c < a.

Progressive Kosten können als K(x) = c·x^a beschrieben werden, zum Beispiel x². Dann gilt K'(x) = (a·c)·x^(a−1) und k(x) = c·x^(a−1). Regressive Kosten haben die Form K(x) = c·x^(−a), etwa 1/x; ihre Grenzkosten sind (−a)·c·x^(−a−1), die Stückkosten c·x^(−a−1). Für fixe Kosten gilt K(x) = c, beispielsweise 1000, mit Grenzkosten 0 und Stückkosten c/x.

Ein sprungfixes Beispiel ist: 1000 für x < 50, 2000 für 50 ≤ x ≤ 200 und 5000 für x > 200. Die Grenzkosten sind innerhalb der Intervalle 0, an den Sprungstellen jedoch ∞. Dabei sind a ∈ ℕ_{>1} sowie b, c, d ∈ ℝ_{>0} Konstanten.

Bei einem nichtlinearen Kostenverlauf sinken die totalen Durchschnittskosten zunächst, weil Mehrproduktion Kostenvorteile bringt. Die Stückzahl sollte dabei als Output je Zeiteinheit verstanden werden. Später können die totalen Durchschnittskosten vorübergehend steigen, wenn an der Produktions-Kapazitätsgrenze eine Erweiterungs-Investition nötig wird und deren Kosten auf die Durchschnittskosten umgelegt werden.

Die Grenzkostenkurve schneidet die Durchschnittskostenkurve in deren Minimum. Solange der Kostenzuwachs der letzten Einheit kleiner ist als die Durchschnittskosten aller vorherigen Einheiten, sinkt der Durchschnitt. Bei GK = DK kann der Durchschnitt nicht weiter sinken; anschließend wird er angehoben.