Inklusionsabbildung

Grundidee

Eine Inklusionsabbildung, kurz Inklusion, natürliche Einbettung oder kanonische Einbettung, ist eine mathematische Funktion, die eine Teilmenge in ihre Grundmenge einbettet. Sie beschreibt also den einfachen Übergang von einer Menge A in eine größere oder gleiche Menge B, wenn A eine Teilmenge von B ist.

Definition und Schreibweise

Für Mengen A und B mit A ⊆ B ist die Inklusionsabbildung i: A → B durch die Vorschrift i(x) = x gegeben. Jedes Element wird also auf sich selbst abgebildet, nur die Zielmenge ist B statt A.

Zur Kennzeichnung wird manchmal das spezielle Pfeilsymbol ↪ benutzt, also i: A ↪ B. Man spricht von einer echten Inklusion, wenn A eine echte Teilmenge von B ist. Das bedeutet: Es gibt Elemente in B \ A, also Elemente, die in B liegen, aber nicht in A.

Bei mathematischen Strukturen ist die so definierte Abbildung einer Unterstruktur strukturtreu. Das heißt, sie erhält die betreffende Struktur und ist ein Monomorphismus.

Wichtige Eigenschaften

Jede Inklusionsabbildung ist injektiv. Injektiv bedeutet: Verschiedene Elemente der Ausgangsmenge werden auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet.

Eine echte Inklusion ist nicht surjektiv. Surjektiv bedeutet: Jedes Element der Zielmenge wird getroffen. Bei einer echten Inklusion bleiben aber gerade die Elemente aus B \ A ohne Urbild in A.

Wenn A = B gilt, ist die Inklusion die Identitätsabbildung. Die Identitätsabbildung bildet jedes Element einer Menge auf sich selbst ab.

Zerlegung von Funktionen

Eine beliebige Funktion f: A → B lässt sich als Verkettung f = h ∘ g schreiben. Dabei ist g surjektiv und h injektiv.

Dazu nimmt man C = im f ⊆ B als Bildmenge von f. Die Funktion g: A → C stimmt auf A mit f überein, also g(x) = f(x). Für h: C → B wählt man die Inklusionsabbildung. So wird die Funktion zuerst auf ihre Bildmenge abgebildet und diese Bildmenge anschließend in B inkludiert.

Einschränkungen von Funktionen

Ist f: A → B eine beliebige Funktion und X eine Teilmenge der Definitionsmenge A, dann heißt f|_X die Einschränkung von f auf X. Das ist die Funktion g: X → B, die auf X mit f übereinstimmt.

Mit der Inklusion i: X → A kann man diese Einschränkung kurz schreiben als f|_X = f ∘ i.

Umgekehrt kann jede Inklusionsabbildung i: A ↪ B als Einschränkung einer passenden identischen Abbildung verstanden werden: i = (id_B)|_A.