Kommutationswerte

Bedeutung und Zweck

Kommutationswerte oder Kommutationszahlen sind Hilfsgrößen der Lebens- und Krankenversicherungsmathematik. Sie ermöglichen schnelle Barwertberechnungen, also die Umrechnung zukünftiger Zahlungen auf einen gemeinsamen Zeitpunkt. Das ist wichtig, weil Leistungs- und Beitragsbarwerte normalerweise aus vielen Summanden bestehen, die jeweils weitere Faktoren enthalten.

Auch bei computergestützten Rechnungen sind Kommutationswerte nützlich: Sie zerlegen aufwändige Berechnungen in übersichtliche Teilausdrücke, die an verschiedenen Stellen mehrfach verwendet werden können. Sie erscheinen in operativen Systemen, Sterbetafeln und Formelsammlungen. Dabei berücksichtigen sie unmittelbar das Äquivalenzprinzip der Rentenrechnung: Zwei Zahlungsströme sind gleichwertig, wenn ihre Barwerte oder ihre Endwerte übereinstimmen.

Grundlagen aus der Sterbetafel

Zur Konstruktion wird die Lebensdauer als Zufallsvariable T:\Omega \to \mathbb {R}_{+} betrachtet. Für einen Bestand von \ell _0 Neugeborenen gibt es unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen \{Z_i\}_{i\in\{1,\cdots,\ell _0\}} mit P_{Z_i}=P_T. Z_i bezeichnet die Lebensdauer der Person i.

Für x\in\mathbb N_0 gilt:

\ell_x:=E[\sum_{i=1}^{\ell_0}\chi_{\{x<Z_i\}}]

d_x:=E[\sum_{i=1}^{\ell_0}\chi_{\{x<Z_i\leq x+1\}}]

\ell_x ist die erwartete Zahl der Überlebenden im Alter x, kurz die Zahl der Lebenden. d_x ist die erwartete Zahl der Personen, die im Lebensjahr x+1 sterben, kurz die Zahl der Toten. In Sterbetafeln wird \ell_0 üblicherweise auf 100.000 Lebende normiert.

Kommutationswerte der Lebensversicherung

In Sterbetafeln werden Kommutationswerte neben den einjährigen Sterbewahrscheinlichkeiten geführt. Statt Versicherungssummen und Beiträge selbst abzuzinsen, werden die Zahlen der Lebenden und der Toten abgezinst. Als Stichtag wird das Alter 0 gewählt. Ist v^x der periodische Diskontfaktor zum Zeitpunkt x, so lauten die Werte für Lebende:

• D_x=\ell_xv^x: diskontierte Lebende im Alter x (1. Ordnung).
• N_x=\sum_{k=0}^{\omega-x}D_{x+k}: Summe der diskontierten Lebenden von x bis \omega (2. Ordnung).
• S_x=\sum_{k=0}^{\omega-x}N_{x+k}: doppelte Summe der diskontierten Lebenden.

Für Tote werden definiert:

• C_x=d_xv^{x+1}: diskontierte Tote im Alter x (1. Ordnung).
• M_x=\sum_{k=0}^{\omega-x}C_{x+k}: Summe der diskontierten Toten von x bis \omega (2. Ordnung).
• R_x=\sum_{k=0}^{\omega-x}M_{x+k}: doppelte Summe der diskontierten Toten.

C_x wird um eine Periode stärker abgezinst, weil Leistungen bei Todesfällen am Jahresende stattfinden. Beiträge und Leistungen für den Erlebensfall werden dagegen zu Jahresbeginn fällig. Aus d_x=\ell_x-\ell_{x+1} folgt für 0\leq x\leq\omega: C_x=vD_x-D_{x+1}. Für Summen und doppelte Summen gibt es entsprechende Beziehungen.

Die Werte erster Ordnung heißen auch diskontierte Lebende beziehungsweise diskontierte Tote. Die Werte für Tote lassen sich aus denen für Lebende ausdrücken, aber nicht umgekehrt. Deshalb werden in Geschäftsplänen und Mitteilungen der Lebensversicherungen an die BaFin gemäß § 143 VAG nur die Kommutationswerte für Lebende verwendet. C, M und R beziehen sich auf das Ende des Sterbejahres; für Zahlungen unmittelbar nach dem Todesfall werden Korrekturen zur Glättung verwendet.

Typische Anwendungen sind:

• Sofortrente: \ddot a_x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{D_{x+k}}{D_x}=\frac{N_x}{D_x}.
• Todesfallversicherung: A_x=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{C_{x+i}}{D_x}=\frac{M_x}{D_x}.
• Erlebensfallversicherung: {}_nE_x=\frac{D_{x+n}}{D_x}.

Besonderheit der Krankenversicherung

Neben den aus der Lebensversicherung bekannten Kommutationswerten verwendet die Krankenversicherung meist zwei zusätzliche, nur dort spezifische Werte; für sie gibt es keine feste Sprechweise:

O_{x+m}:=D_{x+m}k_{x+m}

U_{x+m}:=\sum_{v=m}^{\omega-x}O_{x+v}.

Historischer Hintergrund

Die Einführung der Kommutationszahlen geht auf Johannes Nikolaus Tetens zurück. Sein zweibändiges Lehrbuch „Einleitung zur Berechnung der Leibrenten und Anwartſchaften die vom Leben und Tode einer oder mehrerer Perſonen abhangen“ erschien 1785 und 1786 in Leipzig. Die rekursive Struktur der Werte erleichterte damals die manuelle tarifarische Kalkulation; Tabellen sollten Berechnungsfehler verringern.

Tetens verwendete den Begriff Kommutationswerte nicht wörtlich, nutzte die Hilfsgröße aber mehrfach und verwendete zur Barwertermittlung erstmals diskontierte Zahlen. Ausgangspunkt war seine Prüfung der 1767 errichteten Calenbergischen Witwencasse im heutigen Niedersachsen. Er definierte Risiko als Produkt aus der Größe des Gewinns und der Eintrittswahrscheinlichkeit.