Lebensversicherungsmathematik

Gegenstand und Grundformen

Die Lebensversicherungsmathematik ist ein Teilgebiet der Versicherungsmathematik. Sie verbindet deterministische Finanzmathematik, insbesondere Zinsrechnung wegen der langjährigen Vertragslaufzeiten, mit Wahrscheinlichkeitstheorie, weil der Todeszeitpunkt zufällig ist.

Vereinfacht werden zwei Grundformen unterschieden: Die Versicherung auf den Todesfall schützt Hinterbliebene, während die Versicherung auf den Erlebensfall der Vorsorge für das Alter dient. Weitere Unterschiede betreffen Versicherungen auf ein oder mehrere Leben, etwa bei Ehe- oder Gruppenversicherungen, sowie Verträge unter einem oder mehreren Risiken, zum Beispiel Tod und Invalidität. Die dargestellten Formeln betrachten beispielhaft eine Versicherung auf ein Leben unter einem Risiko.

Abgezinste Leistungen und Prämien

Eine Prämie ist der versicherungstechnische Ausdruck für Versicherungsbeitrag. Sei i der als fest angenommene Zinssatz und v = 1/(i+1) der Abzinsungsfaktor. Der Todeszeitpunkt sei t ∈ (0,∞). Betrachtet werden jeweils die auf den Vertragsbeginn abgezinsten Versicherungsleistungen und Prämienzahlungen.

Zur Vereinfachung werden Leistungen und Prämien am Jahresende oder am Jahresanfang fällig. Die unterjährige Betrachtung wäre eine genauere Verfeinerung. Das Intervall (k−1,k] mit k = 1, 2, … heißt das Jahr k nach Vertragsbeginn.

Bei einer Versicherung auf den Todesfall gilt: Stirbt die versicherte Person im Jahr k, also t ∈ (k−1,k], wird am Ende dieses Jahres die Leistung δₖ fällig. Die abgezinste Leistung lautet

Δ(t) = Σₖ₌₁^∞ vᵏ δₖ χ₍ₖ₋₁,ₖ₎(t).

Sie beträgt damit bei Tod im Jahr 1 vδ₁, bei Tod im Jahr 2 v²δ₂ und allgemein bei Tod im Jahr k vᵏδₖ. χ bezeichnet die Indikatorfunktion. Die Folge δ₁, δ₂, … heißt nachschüssiger Leistungsplan im Todesfall.

Bei einer Versicherung auf den Erlebensfall wird die Leistung gezahlt, wenn die Person den jeweiligen Jahresanfang erlebt. Lebt sie im Jahr k noch, wird die Leistung λₖ am Anfang des Jahres k fällig. Die abgezinste Leistung lautet

Λ(t) = Σₖ₌₁^∞ vᵏ⁻¹ λₖ χ₍ₖ₋₁,∞₎(t).

Bei Tod im Jahr 1 ergibt sich λ₁, bei Tod im Jahr 2 λ₁ + vλ₂ und bei Tod im Jahr m allgemein Σₖ₌₁^m vᵏ⁻¹λₖ. Die Folge λ₁, λ₂, … heißt vorschüssiger Leistungsplan im Erlebensfall.

Eine gemischte Versicherung verbindet beispielsweise eine m-jährige Todesfallversicherung mit einer um m Jahre aufgeschobenen Erlebensfallversicherung. Ihre abgezinste Leistung ist

Δ(t) + Λ(t) = Σₖ₌₁^m vᵏδₖχ₍ₖ₋₁,ₖ₎(t) + Σₖ₌ₘ^∞ vᵏ⁻¹λₖχ₍ₖ₋₁,∞₎(t).

Die Prämie πₖ wird am Anfang des Jahres k fällig, wenn die Person dann noch lebt. Die gesamte auf den Vertragsbeginn abgezinste Prämienzahlung lautet

Π(t) = Σₖ₌₁^∞ vᵏ⁻¹πₖχ₍ₖ₋₁,∞₎(t).

Die Folge π₁, π₂, … heißt vorschüssiger Prämienplan.

Äquivalenz von Leistungen und Beiträgen

Nach dem Äquivalenzprinzip ist ein Versicherungsvertrag dann gerecht kalkuliert, wenn die erwarteten Prämienzahlungen mit den erwarteten Leistungen übereinstimmen. Die Größen Δ(t), Λ(t) und Π(t) hängen vom zufälligen Todeszeitpunkt ab.

Bezeichnet x das Alter bei Vertragsbeginn und Tₓ die zufällige Restlebensdauer einer x-jährigen Person, lautet das Äquivalenzprinzip:

E[Δ(Tₓ)] + E[Λ(Tₓ)] = E[Π(Tₓ)].

E bezeichnet den Erwartungswertoperator. Für eine Zufallsgröße X gilt E[χ_A(X)] = P(X ∈ A). Deshalb lassen sich die Erwartungswerte als Wahrscheinlichkeits- und Zinsausdrücke schreiben:

E[Δ(Tₓ)] = Σₖ₌₁^∞ vᵏδₖP(k−1 < Tₓ ≤ k),

E[Λ(Tₓ)] = Σₖ₌₁^∞ vᵏ⁻¹λₖP(k−1 < Tₓ),

E[Π(Tₓ)] = Σₖ₌₁^∞ vᵏ⁻¹πₖP(k−1 < Tₓ).

Die dafür benötigten Wahrscheinlichkeiten müssen geschätzt werden. In der Regel verwendet man dazu Sterbetafeln.

Von der Nettoprämie zur Bruttoprämie

Für vorgegebene Versicherungsleistungen kann mit dem Äquivalenzprinzip der erforderliche Prämienplan berechnet werden. Die so bestimmten Beiträge heißen Nettoprämien. Für eine langfristig sichere Kalkulation genügt es jedoch nicht, nur die Erwartungswerte von Leistungen und Prämien zu berücksichtigen.

Zusätzlich muss die Volatilität, also die Schwankung dieser Größen, beachtet werden. Ein Beispiel dafür ist ihre Varianz. Dafür wird ein Sicherheitszuschlag angesetzt. Nettoprämie plus Sicherheitszuschlag ergibt die Risikoprämie.

Die tatsächlich vom Versicherungsnehmer zu zahlende Bruttoprämie ist noch höher. Zur Risikoprämie kommen unter anderem Betriebskosten und der einkalkulierte Unternehmensgewinn hinzu. Die Prämienkalkulation unterscheidet damit zwischen dem erwarteten finanziellen Ausgleich, dem Sicherheitszuschlag für Schwankungen und weiteren Kosten- beziehungsweise Gewinnbestandteilen.