Abzinsung und Aufzinsung

Grundidee von Ab- und Aufzinsung

Abzinsung, auch Diskontierung, ist eine Rechenoperation der Finanzmathematik. Sie bestimmt, welchen Wert eine zukünftige Zahlung heute oder zu einem anderen früheren Zeitpunkt hat. Dieser Wert heißt bei einer Abzinsung auf die Gegenwart Barwert.

Aufzinsung, auch Askontierung, ist die umgekehrte Rechenoperation: Sie ermittelt den Wert, den eine Zahlung zu einem späteren Zeitpunkt besitzt. Beide Verfahren drücken den Zeitwert des Geldes aus: Bei positiven Zinsen ist derselbe Geldbetrag umso wertvoller, je früher er verfügbar ist.

Für eine Zahlung der Höhe C zum Zeitpunkt t₂ ist ihr Wert V zum früheren Zeitpunkt t₁ (t₁ < t₂):

V = C · DF(i,t₁,t₂)

DF ist der Diskontierungs- oder Abzinsfaktor und hängt von den Zeitpunkten sowie vom Zinssatz i ab. Zinsen können tatsächliche Marktzinsen oder fiktive Zinsen sein, etwa kalkulatorische oder Alternativzinsen bei einer Unternehmensbewertung.

Diskontierungs- und Aufzinsfaktor

Bei einer Abzinsung auf die Gegenwart gilt t₁ = 0; der Zeitpunkt der zukünftigen Zahlung wird dann als t geschrieben. Der Aufzinsfaktor AF für denselben Zeitraum ist der Kehrwert des Diskontierungsfaktors:

AF = 1 / DF

Er kann beispielsweise zur Ermittlung eines Endwertes verwendet werden. Bei positiven Zinssätzen gilt 0 < DF < 1 und AF > 1. Die konkrete Formel hängt von der verwendeten Zinskonvention ab.

Lineare und exponentielle Verzinsung

Die lineare Verzinsung wird normalerweise bei Zeiträumen unter einem Jahr verwendet. Mit n Zinstagen bis t₂ und m Zinstagen pro Jahr nach der gewählten Zinsberechnungsmethode lautet sie:

DF = 1 / (1 + (n/m)i), AF = 1 + (n/m)i

Beispiel: Bei 5 % Zinsen und einer Zahlung in 3 Monaten nach der deutschen Methode 30/360 ergibt sich:

DF = 1 / (1 + (3 · 30 / 360) · 0,05) = 1 / 1,0125 = 0,98765.

Eine Zahlung von 100 EUR in 3 Monaten hat damit einen gegenwärtigen Wert von 98,77 EUR.

Die exponentielle Verzinsung wird normalerweise für Zeiträume über einem Jahr genutzt und berücksichtigt implizit Zinseszinseffekte. Bei einem Zinssatz i und einer Zahlung in t Jahren gilt:

DF = 1 / (1 + i)^t, AF = (1 + i)^t

Bei i = 5 % und t = 4 beträgt der Diskontierungsfaktor DF = 1 / (1 + 0,05)^4 = 0,82270.

Stetige Verzinsung

Die stetige Verzinsung ist ein Sonderfall der exponentiellen Verzinsung. Sie wird häufig bei theoretischen finanzmathematischen Fragestellungen verwendet und berücksichtigt ebenfalls Zinseszinseffekte:

DF = e^(−i · t), AF = e^(i · t)

Dabei ist e die Eulersche Zahl. Mit i = 5 % und t = 4 ergibt sich:

DF = e^(−0,05 · 4) = 2,71828^(−0,2) = 0,81873.

Dieser Wert liegt nahe bei dem Diskontierungsfaktor der exponentiellen Verzinsung.

Abzinsung auf einen zukünftigen Zeitpunkt

Abzinsung muss nicht auf die Gegenwart erfolgen. Liegt der Zielzeitpunkt t₁ selbst in der Zukunft, wird analog gerechnet. Der verwendete Zinssatz beginnt dann erst in der Zukunft und entspricht einem Forward-Zins.

Liegt eine Zahlung zum Zeitpunkt t₂ in 9 Monaten vor und wird auf t₁ in 3 Monaten abgezinst, so wird über 9 − 3 = 6 Monate abgezinst. Bei linearer Verzinsung und der deutschen Zinsmethode lautet der Diskontfaktor:

DF = 1 / (1 + (((9 − 3) · 30) / 360)i).