Komma (Musik)

Begriff und zentrale Kommata

Ein Komma ist in der Musiktheorie ein kleines Intervall, das wesentlich kleiner als ein Halbton ist. Es entsteht als Differenz zwischen unterschiedlichen Kombinationen reiner Intervalle, also von Intervallen mit einfachen Frequenzverhältnissen. Kommata stehen deshalb in engem Zusammenhang mit Stimmungssystemen. Wenn möglichst viele musikalisch verwendbare Töne und Intervalle gewonnen werden sollen, müssen ein oder mehrere Kommata ausgeglichen oder auf verschiedene Tonstufen verteilt werden.

Besonders wichtig sind das pythagoreische und das syntonische Komma. Beim pythagoreischen Komma führen zwölf reine Quinten, nach entsprechender Oktavierung, zu einem Ton, der geringfügig höher ist als der Ausgangston. Beim syntonischen Komma wird die pythagoreische Terz mit der reinen großen Terz verglichen.

Die wichtigsten Kommata im Überblick:

Das pythagoreische Komma entsteht aus 12 Quinten − 7 Oktaven und beträgt ungefähr 23,460 Cent.
Das syntonische Komma entsteht aus 4 Quinten − großer Terz − 2 Oktaven und beträgt ungefähr 21,506 Cent.
Das Schisma ist pythagoreisches Komma − syntonisches Komma und beträgt ungefähr 1,954 Cent.
Das Diaschisma entspricht 3 Oktaven − 4 Quinten − 2 großen Terzen und beträgt ungefähr 19,553 Cent.
Die kleine Diësis entspricht 1 Oktave − 3 großen Terzen und beträgt ungefähr 41,059 Cent.
Die große Diësis entspricht 4 kleinen Terzen − 1 Oktave und beträgt ungefähr 62,565 Cent.

Die in diesen Entstehungsformeln genannten Intervalle gehören zur reinen Stimmung. Deshalb sind die Cent-Angaben nur Näherungen. Die Eulerschreibweise bezeichnet die unterschiedlichen Tonhöhen, die sich aus solchen Intervallkombinationen ergeben, etwa Ges–Fis oder Dis–Es.

Pythagoreisches und syntonisches Komma

Das pythagoreische Komma wird im Quintenzirkel anschaulich: Legt man zwölf reine Quinten übereinander, erreicht man nach sieben Oktaven nicht genau den Ausgangston. Der erreichte Ton liegt um etwa ein Vierteltonintervall höher. Mathematisch gilt:

(3/2)^12 / 2^7 = 3^12 / 2^19 = 531441/524288 ≈ 23,46 Cent.

Das syntonische Komma entsteht beim Vergleich der pythagoreischen mit der reinen großen Terz. Vier reine Quinten ergeben, auf zwei Oktaven bezogen, die pythagoreische große Terz:

(3/2)^4 / 2^2 = 3^4/2^6 = 81/64 ≈ 407,82 Cent.

Die reine große Terz hat dagegen das Frequenzverhältnis 5/4 und ist ungefähr 386,31 Cent groß. Die pythagoreische Terz ist somit um das syntonische oder didymische Komma größer:

(81/64) · (4/5) = 81/80 ≈ 21,51 Cent.

Das syntonische Komma zeigt sich auch im Unterschied zwischen großem und kleinem Ganzton. Der große Ganzton besitzt das Verhältnis 9/8, der kleine Ganzton das Verhältnis 10/9. Ihr Unterschied beträgt:

(9/8) · (9/10) = 81/80 ≈ 21,51 Cent.

Das syntonische Komma ist daher nicht einfach ein beliebiger kleiner Abstand, sondern die Differenz zwischen zwei auf unterschiedliche Weise erzeugten, eigentlich gleich benannten oder vergleichbaren Tonabständen.

Schisma und seine Bedeutung für Stimmungen

Das Schisma ist die Differenz zwischen dem pythagoreischen und dem syntonischen Komma:

23,46 Cent − 21,51 Cent = 1,95 Cent.

Sein Frequenzverhältnis lautet:

[(3/2)^12 / 2^7] : (81/80) = 32805/32768 ≈ 1,9537 Cent.

Es kann auch als Kombination reiner Intervalle geschrieben werden:

Schisma = (12 Quinten − 7 Oktaven) − (4 Quinten − große Terz − 2 Oktaven) = große Terz + 8 Quinten − 5 Oktaven.

Daraus folgt ebenfalls:

(5/4) · (3/2)^8 : 2^5 = 32805/32768 ≈ 1,9537 Cent.

Andreas Werckmeister behandelte das Schisma in Musicalische Temperatur (Quedlinburg 1691) im Zusammenhang mit wohltemperierten Stimmungen. Geht man von h zwölf reine Quinten abwärts, erhält man ces. Das sieben Oktaven höhere CES liegt ein pythagoreisches Komma unter dem Ausgangston h. Geht man von h dagegen ein syntonisches Komma abwärts, erhält man das Tiefkomma-h, das im reinen Durakkord g-,h-d vorkommt. Dieses ist nur um ein Schisma höher als CES. Der Unterschied liegt laut Artikel an der Grenze der wahrnehmbaren Tonunterschiede; deshalb kann man ,h mit ces identifizieren. Entsprechende Gleichsetzungen sind etwa des = ,cis, es = ,dis, ges = ,fis und as = ,gis.

Das Schisma darf nicht mit dem zwölften Teil des pythagoreischen Kommas verwechselt werden. Dieser ist für Stimmungssysteme relevant und beträgt ungefähr 1,9550 Cent, obwohl beide Zahlenwerte ähnlich sind.

Diaschisma und Diësis

In reiner Stimmung können enharmonisch bezeichnete Töne unterschiedliche Tonhöhen haben. So ist Cis tiefer als Des. Die maßgeblichen Verhältnisse sind:

C–D = 9/8, der große Ganzton.
C–Des = 16/15, ein diatonischer Halbton.
Cis–D = 16/15, ebenfalls ein diatonischer Halbton.
Cis–Des = (16/15) · (8/9) · (16/15) = 2048/2025 ≈ 19,55 Cent.

Dieses Intervall heißt Diaschisma und entspricht 3 Oktaven − 4 Quinten − 2 großen Terzen. Um ein Diaschisma unterscheiden sich in reiner Stimmung außerdem Fis und Ges sowie Ais und B.

Die kleine Diësis wird am Beispiel Dis–Es beschrieben. In diesem Fall gilt:

D–E = 10/9, der kleine Ganzton.
D–Es = 16/15, ein diatonischer Halbton.
Dis–E = 16/15, ebenfalls ein diatonischer Halbton.
Dis–Es = (16/15) · (9/10) · (16/15) = 128/125 ≈ 41,06 Cent.

Die kleine Diësis, seltener enharmonisches Komma genannt, entspricht 1 Oktave − 3 großen reinen Terzen beziehungsweise 7 Oktaven − 12 mitteltönigen Quinten. In reiner Stimmung unterscheiden sich Dis und Es sowie Gis und As um eine kleine Diësis. In mitteltöniger Stimmung gilt dies außerdem für Cis und Des, Fis und Ges sowie Ais und B. Auf einer zwölftönigen Tastatur muss deshalb jeweils eine der möglichen Tonhöhen ausgewählt werden.

Die große Diësis entsteht, weil vier reine kleine Terzen etwas größer sind als eine Oktave. In C-Dur wird sie am Beispiel C–Es–Ges–Heses–deses dargestellt. Ihre Größe beträgt:

4 kleine Terzen (rein) − Oktave = 4 · syntonisches Komma − pythagoreisches Komma ≈ 62,565 Cent.

Halbtöne und enharmonische Unterschiede

Die rein gestimmte C-Dur-/c-Moll-Tonleiter kann um zusätzliche chromatische Töne erweitert werden: um ,Cis bei einer Modulation nach D-Dur, um ,,Dis bei einer Modulation nach ,E-moll und um 'Des des Neapolitaners. Dadurch werden mehrere verschieden große Halbtonabstände sichtbar.

Die benachbarten Töne und ihre ungefähren Größen sind:

C – ,Cis: 135/128 ≈ 92 Cent; ,Cis – 'Des: 2048/2025 ≈ 20 Cent; 'Des – D: 135/128 ≈ 92 Cent; D – ,,Dis: 25/24 ≈ 71 Cent; ,,Dis – 'Es: 128/125 ≈ 41 Cent; 'Es – ,E: 25/24 ≈ 71 Cent; ,E – F: 16/15 ≈ 112 Cent.

Dabei steht die erste Zeile der ursprünglichen Darstellung für die Tonnamen, die zweite für die Frequenzverhältnisse benachbarter Töne und die dritte für die angenäherte Größe in Cent.

Unterschieden werden drei relevante Halbtonarten:

Der diatonische Halbton ist ,E–F und beträgt ungefähr 111,7 Cent; sein Frequenzverhältnis ist 16/15.
Der große chromatische Halbton ist C–,Cis beziehungsweise 'Des–D und beträgt ungefähr 92,2 Cent; sein Verhältnis ist 135/128.
Der kleine chromatische Halbton ist D–,,Dis beziehungsweise 'Es–,E und beträgt ungefähr 70,7 Cent; sein Verhältnis ist 25/24.

Die Töne der schwarzen Tasten sind in dieser Darstellung nicht enharmonisch verwechselbar. ,Cis und 'Des unterscheiden sich um ein Diaschisma von ungefähr 19,6 Cent mit dem Verhältnis 2048/2025. ,,Dis und 'Es unterscheiden sich um eine kleine Diësis von ungefähr 41,1 Cent mit dem Verhältnis 128/125.

Septimales Komma und historische Einordnung

Das septimale oder Leipziger Komma ist ein ungefähr 27,26 Cent großes Intervall mit dem Schwingungsverhältnis 64:63. Es liegt zwischen der Naturseptime mit dem Verhältnis 7:4 und ungefähr 968,83 Cent sowie der kleinen Septime der reinen Stimmung mit dem Verhältnis 16:9 und ungefähr 996,09 Cent.

Eine frühe theoretische Grundlage findet sich in Euklids Teilung des Kanons, einer Zusammenfassung des damaligen theoretischen Musikwissens aus dem etwa 3. Jahrhundert v. Chr. In Satz 14 steht: „Die Oktave ist kleiner als 6 Ganztöne.“ Die Oktave besitzt dabei die Proportion beziehungsweise das Frequenzverhältnis 2:1, der Ganzton das Verhältnis 9:8. Die Differenz aus sechs Ganztönen und einer Oktave entspricht dem pythagoreischen Komma. Euklid gibt dessen Proportion als 531441:524288 an; der Ausdruck κόμμα kommt bei ihm allerdings nicht vor.

Erst mit dem Aufkommen mehrstimmiger Musik in Renaissance und Barock wurden Kommata besonders für das Stimmen von Tasteninstrumenten entscheidend. Diese Instrumente verfügten über nur 12 Tonstufen innerhalb der Oktave. Daher entwickelte man zahlreiche Stimmungssysteme, in denen die vorhandenen Kommata unterschiedlich auf die Tonstufen verteilt wurden. Die verschiedenen Kommas beschreiben somit die kleinen Abweichungen, die entstehen, wenn reine Quinten, Terzen, Ganz- und Halbtöne innerhalb eines begrenzten Tonsystems miteinander verbunden werden.