Cent (Musik)

Grundidee und Definition

Das Cent ist eine additive Hilfsmaßeinheit für Tonhöhenintervalle, also für den Abstand zwischen zwei Tönen. Es ermöglicht einen sehr genauen Vergleich musikalischer Intervalle, Tonsysteme und Stimmungen. Definiert ist es durch 100 Cent = 1 gleichstufiger Halbton. Da eine Oktave aus zwölf gleichstufigen Halbtönen besteht, gilt: 1200 Cent = 1 Oktave.

Additiv bedeutet: Aufeinanderfolgende Intervalle werden in Cent durch Addition beschrieben. Daher entsprechen 2 Oktaven 2400 Cent und 3 Oktaven 3600 Cent. Zwölf gleichstufige Quinten entsprechen sieben Oktaven; eine gleichstufige Quinte misst deshalb 700 Cent. Eine reine Quinte misst dagegen ungefähr 702 Cent.

Centangaben passen zum additiven Empfinden von Intervallgrößen durch das Gehör. Frequenzverhältnisse lassen sich dagegen nicht unmittelbar miteinander vergleichen. Rationale Frequenzverhältnisse, die vielen Stimmungssystemen zugrunde liegen, und Centwerte können – außer bei Vielfachen von 1200 Cent – nur näherungsweise gleichgesetzt werden.

Messung und Intervallrechnung

Die Maßeinheit Oktave und ihre Untereinheit Cent messen die Größe eines Intervalls proportional zu seinem Frequenzverhältnis. Einer Oktave entspricht das Frequenzverhältnis p = 2:1 beziehungsweise ein Schwingungsverhältnis von 1:2. Allgemein gilt bei einem Frequenzverhältnis p:

i = 1200 Cent · log₂(p).

Damit entsprechen k Oktaven dem Verhältnis 2ᵏ und der Größe 1200 Cent · k. Beispiele aus reiner Stimmung sind: kleine Terz 6/5 = ungefähr 315,641 Cent, große Terz 5/4 = ungefähr 386,314 Cent, Quarte 4/3 = ungefähr 498,045 Cent und Quinte 3/2 = ungefähr 701,955 Cent.

Werden Intervalle nacheinander ausgeführt, addieren sich ihre Centwerte, während sich ihre Frequenzverhältnisse multiplizieren. Eine reine Quinte plus eine reine Quarte ergibt etwa 702 Cent + 498 Cent = 1200 Cent, also eine Oktave; dabei gilt 3/2 · 4/3 = 2/1. Eine reine kleine plus eine reine große Terz ergeben etwa 316 Cent + 386 Cent = 702 Cent, also ungefähr eine reine Quinte; dabei gilt 6/5 · 5/4 = 3/2.

Bedeutung für Stimmungen und Hören

Mit Cent lassen sich kleine Abweichungen von reinen Intervallen in mitteltönigen und wohltemperierten Stimmungen darstellen. Solche Verstimmungen werden in Kauf genommen, damit bei einer zwölfstufigen Oktavskala möglichst viele Tonarten spielbar sind.

In mitteltönigen Stimmungen können bei C-Dur-nahen Akkorden Abweichungen bis etwa 8 Cent auftreten. Beispielsweise misst eine reine Quinte c¹–g¹ ungefähr 702 Cent und hat keine Schwebungen; eine mitteltönige Quinte misst ungefähr 697 Cent und hat leichte Schwebungen. In weiter von C-Dur entfernten Tonleitern kann die Abweichung bis zu 14 Cent betragen. Die reine große Terz von 220 Hz zu 275 Hz misst ungefähr 386 Cent und hat keine Schwebungen. Die gleichstufige große Terz von 220 Hz zu 277 Hz misst 400 Cent und erzeugt viele Schwebungen; sie klingt rau. Noch größere Abweichungen, etwa eine Wolfsquinte der mitteltönigen Stimmung in weit entfernten Tonarten, werden nicht geduldet.

Die Cent-Einheit ist so fein gewählt, dass wahrnehmbare Tonhöhenunterschiede meist als ganzzahlige Centwerte angegeben werden können. Bei nacheinander erklingenden Sinustönen liegt der kleinste erkennbare Unterschied ab 1000 Hz grob bei drei bis sechs Cent. Gleichzeitig erklingende Töne können durch Schwebungen noch wesentlich geringere Unterschiede hörbar machen. Bei tiefen, leisen Sinustönen kann die Unterscheidungsschwelle dagegen über 100 Cent, also über einen Halbton, steigen.

Umrechnung und Frequenzberechnung

Für das Frequenzverhältnis p = f₂/f₁ lautet die Umrechnung in Cent:

i = 1200 Cent · log₂(p) = 1200 Cent · ln(p)/ln(2).

Die Umkehrformel für das Frequenzverhältnis eines Intervalls i lautet:

p = 2^(i/(1200 Cent)).

Daraus folgen näherungsweise: 316 Cent entsprechen 1,2 = 6/5, 386 Cent entsprechen 1,25 = 5/4 und 702 Cent entsprechen 1,5 = 3/2. Außerdem gilt: 1 Cent = 1/1,2 Millioktaven ≈ 0,8333 Millioktaven sowie 1 Cent = log₁₀(2)/1,2 Savart ≈ 0,2509 Savart.

Ein Cent hat das Frequenzverhältnis ²¹²⁰⁰√2 = 2^(1/1200) = 1,0005777895. Ausgehend von 440 Hz ergibt eine Erhöhung um 100 Cent ungefähr 466,164 Hz, um 1 Cent ungefähr 440,254 Hz. Eine Verringerung um 1 Cent ergibt ungefähr 439,746 Hz, um 100 Cent ungefähr 415,305 Hz.

Beispiel: a¹ mit 440 Hz und c² als kleine Terz darüber. In reiner Stimmung beträgt die Frequenz von c² bei dem Verhältnis 6:5 genau 440 Hz · 6/5 = 528 Hz. In gleichstufiger Stimmung misst die kleine Terz 3 Halbtöne = 300 Cent; die Frequenz beträgt dann 440 Hz · 2^(300/1200) ≈ 523,251 Hz.

Norm und absolutes Cent

DIN 13320 „Akustik; Spektren und Übertragungskurven; Begriffe, Darstellung“ definiert das Cent als Frequenzmaßintervall mit dem Frequenzverhältnis 2^(1/1200). Das Frequenzmaßintervall zweier Frequenzen f₁ und f₂ > f₁ kann daher als 1200 · log₂(f₂/f₁) Cent angegeben werden.

Beim absoluten Cent wird nicht nur ein Abstand, sondern dem gesamten Frequenzbereich eine feste Cent-Skala zugeordnet. Es ist dann eine Maßeinheit der Tonhöhe statt der Intervallgröße. Dabei wird 1 Hz = 0 Cent gesetzt. Entsprechend sind 2 Hz = 1200 Cent und 4 Hz = 2400 Cent; die Zwischenwerte werden nach derselben logarithmischen Skala bestimmt.