Kohärenz (Physik)

Grundidee der Kohärenz

Kohärenz bezeichnet bei einem oder mehreren ausgedehnten physikalischen Wellenfeldern die Eigenschaft, dass sich die momentanen Auslenkungen an verschiedenen Orten zeitlich bis auf eine konstant bleibende Phasenverschiebung auf dieselbe Weise ändern. Bei der Überlagerung kohärenter Wellen kann dadurch eine zeitlich und räumlich stationäre Interferenz entstehen. Das Fehlen einer solchen definierten Phasenbeziehung heißt Inkohärenz.

Für Wellen gleicher Art gilt das Superpositionsprinzip: An jedem Ort ist die resultierende Welle die Summe der momentanen Werte der einzelnen Wellen. Bei gleicher Phase addieren sich die Amplituden; es entsteht konstruktive Interferenz. Bei einer Phasendifferenz von 180° werden die Amplituden subtrahiert. Haben sie gleiche Größe, löschen sich die Wellen vollständig aus (destruktive Interferenz).

Auch inkohärente Wellen addieren sich, jedoch mit ständig veränderlicher Phasendifferenz. Im zeitlichen Mittel ist das Betragsquadrat der resultierenden Welle gleich der Summe der zeitlich gemittelten Betragsquadrate der Einzelwellen. Daher addieren sich bei Inkohärenz die Intensitäten, nicht die Amplituden; eine dauerhafte Verstärkung oder Auslöschung ist ausgeschlossen.

Kohärenz kann bei Licht-, Radar-, Schall-, Wasser- und Materiewellen auftreten. Sie deutet meist auf eine gemeinsame oder zusammenhängende Entstehungsgeschichte hin. Da reale Wellen zeitlich und räumlich begrenzt sind und unterschiedlich erzeugte Wellen meist leicht verschiedene Frequenzen besitzen, ist Kohärenz häufig nur begrenzt vorhanden. Die Kohärenzlänge ist die Weglänge, die der räumlichen Ausdehnung der Kohärenz entspricht. Anwendungen liegen unter anderem in Laseroptik, Spektroskopie, Interferometrie, Holografie, Quantenkryptographie und Signalverarbeitung.

Korrelation und mathematische Kennzahlen

Die Kohärenz beziehungsweise Interferenzfähigkeit zweier Wellen wird durch eine Korrelationsfunktion quantifiziert. Die komplexe Kreuzkorrelationsfunktion lautet

Γ_AB(τ) = ⟨E(r_A,t) E*(r_B,t+τ)⟩ = lim(T→∞) 1/T ∫ von −T/2 bis +T/2 E(r_A,t) E*(r_B,t+τ) dt.

Sie vergleicht die Zeitverläufe der Amplitude E an den Orten A und B mit dem Zeitabstand τ. Die Kontrastfunktion für raumzeitliche Kohärenz ist

K_AB(τ) = |2Γ_AB(τ) / (Γ_AA(0) + Γ_BB(0))|.

Sie nimmt Werte zwischen 0 und 1 an: K = 1 bedeutet vollständige Kohärenz, 0 < K < 1 partielle Kohärenz und K = 0 vollständige Inkohärenz.

Bei rein zeitlicher Kohärenz werden nur Korrelationen mit A = B betrachtet. Dann gilt K(τ) = |Γ(τ) / Γ(0)|. Bei τ = 0 ist K maximal und gleich 1. Die Kohärenzzeit τ_c ist der Zeitabstand, bei dem die Kontrastfunktion auf 1/e abgefallen ist. Für verschiedene Wellen verwendet man die Kreuzkorrelation Γ(τ) = ⟨E₁(t) E₂*(t+τ)⟩.

Bei rein räumlicher Kohärenz wird τ = 0 gesetzt. Dann beschreibt K_AB = |2Γ_AB / (Γ_AA + Γ_BB)| die Kohärenz zwischen den Punkten A und B. Ein Bereich, in dem alle Punktpaare einen Kontrast K_AB > 1/e besitzen, heißt Kohärenzvolumen.

Für Vielstrahlinterferenz reicht paarweise Kohärenz allein nicht aus. Bei einem Beugungsgitter müssen die Phasen aller Teilwellen simultan korreliert sein, damit sie in einem gemeinsamen Beugungsmaximum zusammenwirken. Ähnliche Bedingungen spielen bei Braggreflexion und im Fabry-Pérot-Interferometer eine Rolle.

Kohärenz in der klassischen Optik

In der klassischen Optik ist Kohärenz die Voraussetzung für Interferenz. Der Kontrast oder die Visibility V eines Interferenzmusters ist ein Maß dafür und liegt zwischen 0 (vollständig inkohärentes Licht) und 1 (vollständig kohärentes Licht).

Für zwei Lichtquellen beschreibt die komplexe gegenseitige Kohärenzfunktion Γ = ⟨E₁E₂*⟩ die Beziehung der Felder. Der komplexe gegenseitige Kohärenzgrad ist γ = Γ / √(I₁I₂). Der Kontrast lautet

V = [2√(I₁I₂) / (I₁ + I₂)] |γ|.

Die mittlere Intensität der Überlagerung ist

I = I₁ + I₂ + 2 Re{Γ} = I₁ + I₂ + 2√(I₁I₂) Re{γ}.

Für die Zweistrahlinterferenz einer Welle und ihrer räumlich oder zeitlich verschobenen Kopie gilt

I = I₀(1 + V cos(ΔΦ)).

Je nach Phasenbeziehung können sich die Teilwellen vollständig verstärken oder auslöschen, teilweise verstärken oder abschwächen oder sich zu einer mittleren Intensität ausgleichen. Bei unterschiedlichen Frequenzen durchlaufen die Phasendifferenzen verschiedene Werte; wenn alle gleich häufig auftreten, entsteht im zeitlichen Mittel keine konstruktive oder destruktive Interferenz.

Zeitliche und räumliche Kohärenz

Zeitliche Kohärenz liegt vor, wenn eine Welle mit einer zeitlich verschobenen Kopie ihrer selbst interferieren kann. Das ist beispielsweise im Michelson-Interferometer nötig, wenn Objekt- und Referenzarm unterschiedliche Weglängen haben. Die Kohärenzzeit τ_c ist das mittlere Zeitintervall, in dem die Welle in vorhersehbarer Weise schwingt. Die Kohärenzlänge l_c ist die Strecke, die sich die Welle während dieser Zeit bewegt.

Nach dem Wiener-Chintschin-Theorem entspricht der Kohärenzgrad als Autokorrelationsfunktion der Feldstärke der normierten Fouriertransformation des Lichtspektrums. Monochromatisches Licht ist zeitlich vollständig kohärent; Licht mit verschiedenen Wellenlängen ist je nach Zusammensetzung partiell kohärent oder inkohärent. Für einen Laser mit gaußförmigem Spektrum, Bandbreite FWHM = Δλ und Schwerpunktwellenlänge λ, gilt l_c = λ²/Δλ. Der Kohärenzgrad ist bei einer Kohärenzlänge von 1/e abgefallen. Abhängig von der Spektrumsform kann bei größeren Weglängenunterschieden wieder eine hohe Kohärenz auftreten; das ist beispielsweise bei einer Schwebung möglich.

Eine anschauliche Näherung beschreibt natürliches Licht als endliche, gedämpfte Wellenzüge. Typische atomare Lebensdauern sind τ = 10 ns. Daraus folgen l_c = cτ ≈ 3 m und eine Frequenzunschärfe Δf = 1/τ von etwa 100 MHz. Doppler- und Druckverbreiterung verkürzen die Kohärenzzeit und -länge; das Modell erklärt jedoch nicht alle Aspekte.

Räumliche Kohärenz ist nötig, wenn eine Welle mit einer räumlich verschobenen Kopie interferieren soll, etwa im Youngschen Doppelspaltversuch. Sie beschreibt, wie weit zwei aus der Welle herausgegriffene Punkte voneinander entfernt sein dürfen. Nach dem Van-Cittert-Zernike-Theorem entspricht bei ausgedehnten Lichtquellen mit statistischer Phasenverteilung der komplexe Kohärenzgrad der normierten Fouriertransformierten der Intensitätsverteilung der Quelle. Das gilt unter den Bedingungen kleiner Ausdehnungen von Quelle und Beobachtungsgebiet sowie ausreichend großer Beobachtungsentfernung. Mit zunehmender Entfernung nimmt die Winkelausdehnung ab und die räumliche Kohärenz zu. Für eine kreisförmige Quelle erreicht sie bei 1,22λz/2ρ ihr Minimum; danach tritt sie in sehr schwacher Form wieder auf.

Erzeugung und Messung kohärenten Lichts

Kohärenz ist keine unveränderliche Eigenschaft einer Lichtquelle, sondern eine Eigenschaft der Lichtstrahlen, deren Interferenzfähigkeit bei der Ausbreitung verloren gehen kann. Räumlich inkohärentes Licht wird durch einen sehr schmalen Spalt näherungsweise so behandelt, als stamme es von einer Punktlichtquelle. Die räumliche Ausdehnung des Kohärenzgebiets ist bei einem einfachen Spalt indirekt proportional zur Spaltgröße. Ein Wellenlängenfilter begrenzt das Spektrum und erhöht die zeitliche Kohärenz.

Leuchtstoffröhren, Glühlampen und Gasentladungslampen sind räumlich ausgedehnt und erzeugen Licht vieler Frequenzen. Durch Lochblenden und Wellenlängenfilter kann daraus räumlich und zeitlich kohärentes Licht gewonnen werden, allerdings mit stark verringerter Intensität.

Laserlicht ist besonders monochromatisch und kann Kohärenzlängen bis zu mehreren Kilometern erreichen. Ein Helium-Neon-Laser kann Kohärenzlängen von über 1 km erzeugen. Nicht jeder Laser ist jedoch monochromatisch: Ein Titan:Saphir-Laser kann spektrale Breiten von Δλ ≈ 2–70 nm und deshalb eine Kohärenzlänge von einigen Mikrometern besitzen. Trotzdem kann er grundmodig und damit räumlich extrem kohärent sein. LEDs haben etwa Δλ ≈ 30 nm, kürzere Kohärenzzeiten als die meisten Laser und wegen ihrer Ausdehnung von mehreren hundert Mikrometern eine geringere räumliche Kohärenz.

Die zeitliche Kohärenz misst man, indem man einen Lichtstrahl in zwei Teilstrahlen aufteilt und wieder vereinigt, etwa im Michelson- oder Mach-Zehnder-Interferometer. Interferenz erscheint nur, wenn der Laufzeit- oder Wegunterschied kleiner als Kohärenzzeit beziehungsweise Kohärenzlänge ist. Aus dem Spektrum kann man mittels Fouriertransformation die zeitliche Kohärenz bestimmen. Umgekehrt lässt sich aus dem Kontrast eines Michelson-Interferometers bei veränderlichem Wegunterschied das Spektrum bestimmen; ein solches Gerät heißt FTIR-Spektrometer. Die räumliche Kohärenz wird analog aus dem Kontrast eines Doppelspalt-verwandten Interferenzmusters bestimmt. In der Stellarinterferometrie dient dies zur Bestimmung der Winkelausdehnung von Sternen.

Kohärenz und Inkohärenz in der Quantenmechanik

In der Quantenmechanik können Zustände als kohärente Überlagerungen anderer Zustände gebildet werden. Beim Doppelspalt zeigt sich dies daran, dass einzelne Elektronen zwar punktförmig registriert werden, viele Treffer aber ein Streifenmuster bilden. Dieses wird als konstruktive und destruktive Interferenz kohärenter Materiewellen aus den beiden Spalten verstanden.

Eine kohärente Überlagerung ist eine Linearkombination von Zustandsvektoren mit komplexen Koeffizienten. Bei einer orthonormierten Basis gibt das Betragsquadrat eines Koeffizienten die Stärke des entsprechenden Basiszustands an. Relative komplexe Phasen verändern den Überlagerungszustand, auch wenn die Betragsquadrate gleich bleiben. Für den Elektronenspin gilt beispielsweise

|+x⟩ = 1/√2 |+z⟩ + 1/√2 |−z⟩,

|+y⟩ = 1/√2 |+z⟩ + i/√2 |−z⟩.

Im Zustand |+x⟩ liefert eine z-Messung zu je 50 % die Ergebnisse +½ und −½; eine x-Messung ergibt dagegen ausschließlich +½. Die Zustände |+x⟩ und |+y⟩ unterscheiden sich durch ihre relative komplexe Phase und sind daher nicht bloß statistische Mischungen.

Eine inkohärente Überlagerung oder ein Zustandsgemisch ist dagegen eine Mischung, etwa aus Elektronen in |+z⟩ und |−z⟩. Die Bestandteile besitzen keine kontrollierte gemeinsame Phase. Bei einem Dichteoperator ρ gilt für einen reinen Zustand ρ² = ρ; ein inkohärentes Gemisch wird durch ρ < 1 gekennzeichnet. Allgemein ist ρ selbstadjungiert, hat Spur 1 und nichtnegative Eigenwerte 0 ≤ p ≤ 1. Für eine Messgröße A lautet der Erwartungswert ⟨A⟩ = Sp(ρÂ). Ein Gemisch aus Zuständen ψ_n mit Gewichten p_n hat

ρ = Σ p_n P_ψn

und

⟨A⟩ = Σ p_n ⟨ψ_n|Â|ψ_n⟩.

Auch eine kohärente Überlagerung kann bei vielen Quantensystemen als inkohärentes Gemisch erscheinen, wenn die komplexen Phasen gleichverteilt sind. Bei |c⟩ = α|a⟩ + β|b⟩ betragen die Wahrscheinlichkeiten p_a = |α|² und p_b = |β|².

Ist ein Teilsystem mit einem anderen verschränkt, kann eine Teilmessung nicht durch einen Zustandsvektor allein beschrieben werden. Man verwendet einen reduzierten Dichteoperator, der durch partielle Spurbildung aus dem Dichteoperator des Gesamtsystems entsteht. Das verschränkte Teilsystem verhält sich bei einer bestimmten Messung wie eine inkohärente Mischung der Eigenzustände dieser Messgröße. Da die Mischung von der gewählten Messgröße abhängt, kann dasselbe Teilsystem als Teil eines verschränkten Gesamtsystems nicht für alle möglichen Messungen gleichzeitig durch denselben Dichteoperator beschrieben werden.