Kirchhoffsche Regeln

Bedeutung und Voraussetzungen

Die Kirchhoffschen Regeln dienen in der elektrischen Schaltungstechnik zur Analyse elektrischer Netzwerke. Sie bestehen aus zwei zusammenhängenden Gesetzen: Die Knotenregel beschreibt den Zusammenhang der Ströme an Verbindungsstellen, die Maschenregel den Zusammenhang der Spannungen entlang eines geschlossenen Weges. Beide Regeln setzen bei der üblichen Anwendung ideal leitende Verbindungen und konzentrierte Bauelemente voraus. Das bedeutet: Das elektrische Verhalten eines Bauelements wird vollständig durch Ströme an seinen Anschlüssen und Spannungen an seinen Klemmen beschrieben. Nicht konzentrierte Bauelemente müssen gegebenenfalls durch Ersatzschaltungen aus solchen Elementen dargestellt werden.

Physikalisch beruhen die Regeln auf Erhaltungssätzen: der Erhaltung elektrischer Ladung und, unter bestimmten Bedingungen, der Erhaltung elektrischer Energie.

Knotenregel: Ströme ausgleichen

An einem Knotenpunkt ist die Summe der zufließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme. Werden alle Zählpfeile einheitlich zum Knoten hin oder vom Knoten weg gewählt, gilt für n Zweigströme:

∑(k=1 bis n) Iₖ = 0

Die Vorzeichen ergeben sich aus der gewählten Pfeilrichtung. Die Regel gilt zunächst für Gleichstromnetzwerke. Für Wechselstromnetzwerke gilt sie bei konzentrierten Bauelementen, wenn keine Ladungsspeicherung in Knoten oder Leitungen durch dort vorhandene Kapazitäten berücksichtigt werden muss. Dann können statt der Zeitwerte komplexe Zeigergrößen verwendet werden:

∑(k=1 bis n) Īₖ = 0

In einem Netzwerk mit m Knoten lassen sich m − 1 linear unabhängige Knotengleichungen aufstellen.

Knotenregel für Schaltungen und Beispiele

Bei konzentrierten Bauelementen kann die Knotenregel auch auf eine ganze Schaltung angewendet werden. Dabei muss der betrachtete Knoten elektrisch neutral bleiben. Betrachtet man beispielsweise nur eine Kondensatorplatte statt des gesamten Kondensators, ist diese Bedingung nicht erfüllt. Dann muss der Verschiebungsstrom zwischen den Kondensatorplatten einbezogen werden; für solche nicht quellenfreien Felder ist das ampèresche Gesetz zu verwenden.

Bei einem Knoten mit den zufließenden Strömen I₁ und I₃ sowie den abfließenden Strömen I₂, I₄ und I₅ gilt:

I₁ + I₃ − I₂ − I₄ − I₅ = 0,

also I₁ + I₃ = I₂ + I₄ + I₅.

Auch ein gesamtes Netzwerk kann als Knoten betrachtet werden. Für Ī₁ und Ī₂ als zufließende sowie Ī₃ als abfließenden Wechselstrom gilt Ī₁ + Ī₂ − Ī₃ = 0. Mit Ī₁ = 3 A · e^(j · 15°) und Ī₂ = 1 A · e^(−j · 35°) ergibt sich Ī₃ ≈ 3,73 A · e^(j · 3,12°).

Maschenregel: Spannungen addieren

In einer Masche, also einem geschlossenen Umlauf eines Netzwerks, addieren sich alle Teilspannungen zu null:

∑(k=1 bis n) Uₖ = 0

Die Umlaufrichtung darf zunächst beliebig gewählt werden. Sie bestimmt jedoch die Vorzeichen: Zeigt ein Spannungspfeil entgegen der gewählten Umlaufrichtung, wird die betreffende Spannung mit umgekehrtem Vorzeichen eingesetzt. Die Regel gilt auch bei beliebig zeitabhängigen Strömen und bei Netzwerken mit nichtlinearen Bauelementen.

Für Wechselstrom kann mit komplexen Effektivwerten oder komplexen Spannungsamplituden gerechnet werden:

∑(k=1 bis n) Ūₖ = 0

Dabei gilt die Gleichung nur für die Klemmenspannungen der Elemente, nicht unmittelbar für die elektrische Feldstärke im Inneren eines Bauelements, etwa im Spulendraht. Hat ein Netzwerk z Zweige und m unabhängige Knotengleichungen, so besitzt es z − m unabhängige Maschengleichungen.

Magnetische Flüsse als Einschränkung

Die Knotenregel beschreibt die Erhaltung elektrischer Ladung: In einem Knoten werden Ladungen weder vernichtet noch zwischengespeichert. Die Maschenregel in ihrer Form mit der Summe null gilt nur, wenn sich der magnetische Fluss innerhalb der Masche nicht ändert, also dΦ/dt = 0. Das Induktionsgesetz lautet dann:

∮ E ds = −dΦ/dt = 0.

∮ E ds ist die Umlaufspannung entlang eines Weges, der die Bauelemente umgeht, aber ihre Pole enthält.

Tritt durch eine Masche ein externer, zeitveränderlicher magnetischer Fluss Φ(t), ist diese Voraussetzung verletzt. Dann lautet die Spannungsgleichung:

∑(k=1 bis n) Uₖ = −dΦ/dt.

Die linke Seite wird weiterhin aus den Klemmenspannungen der Elemente gebildet. Der Umlaufsinn darf nun nicht beliebig gewählt werden, sondern muss rechtsschraubend zur Bezugsrichtung des magnetischen Flusses orientiert sein. Ein solcher Fall tritt beispielsweise bei geomagnetisch induzierten Strömen auf.