Hypothese (Statistik)

Grundidee statistischer Hypothesen

Eine Hypothese ist in der Statistik eine Annahme, die mithilfe mathematisch-statistischer Methoden und empirischer Daten geprüft wird. Zentral sind die Nullhypothese H₀ und die Alternativhypothese H₁ oder H_A. Häufig behauptet H₀, dass keine Wirkung, kein Unterschied oder kein Zusammenhang besteht; H₁ beschreibt die Gegenmöglichkeit.

Ein statistischer Test entscheidet, ob ein Stichprobenergebnis so stark gegen H₀ spricht, dass H₀ abgelehnt wird. Dieses indirekte Vorgehen dient dazu, die Wahrscheinlichkeit einer irrtümlichen Verwerfung von H₀ klein zu halten. Kann H₀ nicht verworfen werden, ist sie aber nicht bewiesen: Es kann beispielsweise an zu wenigen Beobachtungen liegen. Ein allgemeiner Ansatz ist das Testen allgemeiner linearer Hypothesen im klassischen linearen Modell der Normalregression.

Nullhypothese und Testentscheidung

Die Nullhypothese H₀ ist eine Annahme über die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer oder mehrerer Zufallsvariablen. Das Entscheidungsproblem zwischen H₀ und H₁ heißt Testproblem. Spricht das Stichprobenergebnis gegen H₀, wird sie abgelehnt; andernfalls wird sie beibehalten.

In vielen Untersuchungen soll ein Unterschied gezeigt werden. Deshalb formuliert H₀ meist dessen Gegenteil, also Gleichheit: etwa kein Unterschied zwischen Gruppen, keine Wirkung eines Medikaments oder kein Zusammenhang zwischen Merkmalen.

Beispiel: Soll geprüft werden, ob sich Testergebnisse von Männern und Frauen statistisch signifikant unterscheiden, lautet die Nullhypothese H₀: μ₁ = μ₂. Dabei ist μ₁ der Erwartungswert des Testergebnisses der Männer und μ₂ der Erwartungswert des Testergebnisses der Frauen.

In der forensischen Psychologie wird bei einer Glaubhaftigkeitsbegutachtung zunächst angenommen, eine Aussage sei unwahr. Erst wenn diese Unwahrhypothese mit den erhobenen Fakten nicht mehr vereinbar ist, wird sie verworfen; dann gilt als Alternativhypothese, dass die Aussage wahr ist.

Alternativhypothese und Grenzen der Aussage

Die Alternativhypothese H₁ beziehungsweise H_A ist eine durch Beobachtungen oder Überlegungen begründete Annahme zur Erklärung von Phänomenen. Sie steht der Nullhypothese entgegen und kann als innovativ betrachtet werden. Null- und Alternativhypothese müssen disjunkt sein, sich also nicht überschneiden.

Das Ziel eines statistischen Tests ist die Verwerfung von H₀. Eine Nichtverwerfung bedeutet nicht, dass H₀ im engeren Sinn angenommen oder belegt wurde. Ein Test kann daher H₁ durch die Verwerfung von H₀ stützen, aber H₀ nicht im gleichen Sinn annehmen. H₀ kann dennoch korrekt sein; wenn wiederholt nicht gelingt, sie zu widerlegen, erhält die darin geprüfte Annahme zusätzliche Stützung. Eine Nichtverwerfung kann auch ein Fehler 2. Art sein: H₀ wird nicht abgelehnt, obwohl H₁ gilt.

Arten von Hypothesen

Allgemein ist Θ die Menge aller Möglichkeiten, Θ₀ ⊆ Θ die Nullhypothese und Θ₁ = Θ \ Θ₀ die Alternativhypothese. Für diesen allgemeinen Fall gibt es keine Standardtests.

Gerichtete und ungerichtete Hypothesen unterscheiden sich darin, ob eine Richtung festgelegt wird. Eine ungerichtete Alternativhypothese behauptet nur einen Unterschied. Bei einem Training mit n = 100 Kindern wäre zum Beispiel relevant, ob sich die sportliche Leistungsfähigkeit der Population mit Training von jener ohne Training unterscheidet, unabhängig davon, ob sie höher oder niedriger ist. Eine gerichtete Hypothese behauptet dagegen ausdrücklich eine höhere oder eine niedrigere Leistungsfähigkeit; H₀ umfasst dann Gleichheit oder den Unterschied in Gegenrichtung.

Spezifische Hypothesen nennen zusätzlich die Größe eines erwarteten Unterschieds oder Zusammenhangs, zum Beispiel mindestens drei IQ-Punkte Unterschied. Unspezifische Hypothesen machen keine Aussage über dessen Größe.

Eine einfache Hypothese beruht auf einer einzelnen Verteilung. Eine zusammengesetzte Hypothese sagt nur aus, dass die Verteilung zu einer Familie von Verteilungen gehört. Bei normalverteilten Größen mit bekannter Varianz ist H₀: μ = 0 einfach; die Alternativhypothese H_A: μ ≠ 0 ist zusammengesetzt.

Hypothesen wählen und Fehler abwägen

Formal zerlegen H₀ und H₁ den Parameterraum Θ in zwei disjunkte, nicht leere Teilmengen Θ₀ und Θ₁: H₀: θ ∈ Θ₀ gegenüber H₁: θ ∈ Θ₁. Beim Einstichproben-t-Test sind mögliche Paare μ = μ₀ gegen μ ≠ μ₀, μ ≤ μ₀ gegen μ > μ₀ oder μ ≥ μ₀ gegen μ < μ₀. Beim Lilliefors-Test lautet H₀: X ist normalverteilt, H₁: X ist nicht normalverteilt. Die mit μ = μ₀ und „X ist normalverteilt“ formulierten Nullhypothesen sind einfach und ihre Rolle kann nicht vertauscht werden. Bei zusammengesetzten Nullhypothesen kann man eines der Paare wählen; das Gleichheitszeichen muss jedoch immer in H₀ stehen.

Bei Ablehnung von H₀ kann ein Fehler 1. Art auftreten: H₀ wird abgelehnt, obwohl sie gilt. Seine Wahrscheinlichkeit ist höchstens das vorgegebene Signifikanzniveau, in der Regel 5 %. Bei Nichtablehnung kann ein Fehler 2. Art auftreten; dessen Wahrscheinlichkeit ist hier unbekannt. Deshalb soll H₀ möglichst abgelehnt werden, zugleich müssen die Folgen möglicher Fehlentscheidungen berücksichtigt werden.

Für die Wahl gilt: Was gezeigt werden soll, wird als H₁ formuliert; was widerlegt werden soll, als H₀. Sind die Folgen bekannt, soll der Fehler mit dem größten Risiko als kontrollierter Fehler 1. Art gewählt werden. Sind auch sie nicht bekannt, kann die Interessenlage des Prüfers die Formulierung bestimmen; fehlt auch diese Information, ist keine eindeutige Formulierung möglich.

Beim Phosphatgehalt von 18 g pro Packung wählen Umweltschützer H₀: μ ≤ 18 g gegen H₁: μ > 18 g, während eine Waschmittelfirma H₀: μ ≥ 18 g gegen H₁: μ < 18 g wählen würde. Beim Kredit über 1.000 Euro führt die Formulierung, bei der Fehler 1. Art bedeutet „Bankier akzeptiert den Kreditwunsch und der Kunde ist insolvent“, bei 5 % Signifikanzniveau zu 1.000 Euro × 5 % = 50 Euro plus höchstens 80 Euro für Fehler 2. Art, also 130 Euro erwartetem Verlust. Die umgekehrte Zuordnung ergibt 80 Euro × 5 % = 4 Euro plus höchstens 1.000 Euro, also 1.004 Euro. Daher soll im Beispiel die erste Formulierung gewählt werden.