Einstichproben-t-Test

Kernidee und Zweck

Der Einstichproben-t-Test ist ein Signifikanztest aus der mathematischen Statistik. Er prüft mit dem Mittelwert einer Stichprobe, ob der Mittelwert einer Grundgesamtheit einem vorgegebenen Wert entspricht oder ob er kleiner beziehungsweise größer ist. Der unbekannte Mittelwert der Grundgesamtheit wird mit \mu bezeichnet, der vorgegebene Vergleichswert mit \mu_0 und der Stichprobenmittelwert mit \bar{x}.

Die Grundidee ist: Wenn die Stichprobe geeignet gezogen wurde, zum Beispiel als einfache Zufallsstichprobe, liegt ihr Mittelwert \bar{x} mit hoher Wahrscheinlichkeit nahe am tatsächlichen Mittelwert \mu der Grundgesamtheit. Liegt der vorgegebene Wert \mu_0 nahe am Stichprobenmittelwert, spricht das gegen eine Ablehnung der Nullhypothese. Liegt \mu_0 dagegen weit vom Stichprobenmittelwert entfernt, kann die Nullhypothese abgelehnt werden, wenn ein solcher Abstand unter der Nullhypothese hinreichend unwahrscheinlich wäre.

Eine entsprechende Erweiterung für den Vergleich zweier abhängiger oder unabhängiger Stichproben ist der Zweistichproben-t-Test.

Hypothesen und Testarten

Beim Einstichproben-t-Test werden eine Nullhypothese H_0 und eine Alternativhypothese H_1 formuliert. Die Nullhypothese beschreibt meist die Annahme, dass der Mittelwert der Grundgesamtheit dem vorgegebenen Wert entspricht oder in einer bestimmten Richtung nicht davon abweicht. Die Alternativhypothese beschreibt die vermutete Abweichung.

Es gibt drei wichtige Hypothesenpaare:

• Zweiseitiger Test: H_0:\,\mu = \mu_0 gegen H_1:\,\mu \neq \mu_0. Er prüft, ob der Mittelwert überhaupt vom vorgegebenen Wert abweicht, egal ob nach oben oder unten.
• Rechtsseitiger Test: H_0:\,\mu \leq \mu_0 gegen H_1:\,\mu > \mu_0. Er prüft, ob der Mittelwert größer als der vorgegebene Wert ist.
• Linksseitiger Test: H_0:\,\mu \geq \mu_0 gegen H_1:\,\mu < \mu_0. Er prüft, ob der Mittelwert kleiner als der vorgegebene Wert ist.

Für alle drei Fälle wird dieselbe Teststatistik benutzt. Unterschiedlich sind nur die Bereiche, in denen die Nullhypothese abgelehnt oder nicht abgelehnt wird.

Teststatistik und Voraussetzungen

Für unabhängige Zufallsvariablen X_1, X_2, \dots, X_n wird zunächst das arithmetische Mittel verwendet:

\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i.

Wenn die Grundgesamtheit normalverteilt ist, die Zufallsvariablen also unabhängig normalverteilt mit Erwartungswert \mu \in \mathbb{R} und Standardabweichung \sigma>0 sind, ist auch \bar{X} normalverteilt. Es hat den Erwartungswert \mu und die Standardabweichung \frac{\sigma}{\sqrt{n}}. Wäre \sigma bekannt, könnte man mit der Statistik

Z=\sqrt{n}\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma}

einen Gauß-Test durchführen; unter der Nullhypothese ist Z standardnormalverteilt.

Meist ist \sigma aber unbekannt. Dann wird sie durch die empirische Standardabweichung

S=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2}{n-1}}

geschätzt. Die Teststatistik des Einstichproben-t-Tests lautet dann:

T=\sqrt{n}\frac{\bar{X}-\mu_0}{S}.

Unter der Nullhypothese ist diese Statistik bei normalverteilter Grundgesamtheit t-verteilt mit n-1 Freiheitsgraden. Ist der beobachtete Wert der Teststatistik so groß oder so klein, dass ein solcher oder noch extremerer Wert unter der Nullhypothese hinreichend unwahrscheinlich ist, wird die Nullhypothese abgelehnt.

Für eine beliebig verteilte Grundgesamtheit gilt eine ähnliche Begründung, wenn X_1, X_2, \dots, X_n unabhängig und identisch verteilt sind, n>30 gilt und Erwartungswert \mu sowie Standardabweichung \sigma>0 existieren. Dann ist \bar{X} wegen des zentralen Grenzwertsatzes approximativ normalverteilt. Die gleiche t-Statistik wird verwendet, ist unter der Nullhypothese aber nur annähernd t-verteilt mit n-1 Freiheitsgraden.

Entscheidungsregeln

Der Prüfwert für eine konkrete Stichprobe lautet:

t=\sqrt{n}\frac{\bar{x}-\mu_0}{s},

mit

\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i

und

s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}.

Die Voraussetzungen in der Kompaktdarstellung sind: Die X_i sind unabhängig voneinander. Außerdem gilt entweder X_i\sim \mathcal{N}(\mu;\sigma), also Normalverteilung, oder X_i\sim (\mu;\sigma) mit hinreichend großem n, sodass der zentrale Grenzwertsatz verwendet werden kann.

Die Teststatistik ist

T=\sqrt{n}\frac{\bar{X}-\mu_0}{S},

und bei
81\mu=\mu_0 gilt T\sim t_{n-1}.

Die Ablehnungsbereiche hängen von der Testart und vom Signifikanzniveau \alpha ab:

• Rechtsseitig: H_0:\mu\leq\mu_0, H_1:\mu>\mu_0. Ablehnungsbereich: (t_{1-\alpha;n-1},\infty).
• Zweiseitig: H_0:\mu=\mu_0, H_1:\mu\neq\mu_0. Ablehnungsbereich: (-\infty,-t_{1-\frac{\alpha}{2};n-1})\cup(t_{1-\frac{\alpha}{2};n-1},\infty).
• Linksseitig: H_0:\mu\geq\mu_0, H_1:\mu<\mu_0. Ablehnungsbereich: (-\infty,-t_{1-\alpha;n-1}).

Beispiel mit Akkulaufzeiten

In einem Beispiel soll getestet werden, ob die durchschnittliche Laufzeit \mu von Notebook-Akkus von den vom Hersteller angegebenen 3,5 Stunden abweicht. Dazu werden bei 10 Akkus dieser Marke unter kontrollierten gleichen Bedingungen die Laufzeiten gemessen. Weil es nur wenige Beobachtungen gibt, kann der zentrale Grenzwertsatz nicht angewendet werden. Deshalb muss angenommen werden, dass die Laufzeit der Notebook-Akkus in der Grundgesamtheit normalverteilt ist.

Beim zweiseitigen Test lauten die Hypothesen:

H_0:\,\mu=3{,}5 Stunden gegen H_1:\,\mu\neq3{,}5 Stunden.

Gegeben seien der Stichprobenmittelwert \bar{x}=3{,}25 Stunden und die Stichprobenstandardabweichung s=0{,}31 Stunden. Der Prüfwert ist:

t=\sqrt{10}\frac{3{,}25-3{,}5}{0{,}31}\approx -2{,}55.

Die Nullhypothese wird beim zweiseitigen Test zum Signifikanzniveau \alpha abgelehnt, falls |t|>t(1-\frac{\alpha}{2},n-1). Für \alpha=5\,\% und n-1=9 Freiheitsgrade ist t(0{,}975;9)=2{,}262. Wegen der Symmetrie der t-Verteilung ist t(0{,}025;9)=-2{,}262. Da t=-2{,}55<-2{,}262, wird die Nullhypothese abgelehnt: Die Akkus laufen im Mittel nicht 3,5 Stunden, sondern mehr oder weniger.

In der Praxis wäre hier ein einseitiger Test sinnvoll, weil für Kundinnen und Kunden vor allem wichtig ist, ob die Akkus mindestens 3,5 Stunden halten. Dann lauten die Hypothesen:

H_0:\,\mu\geq3{,}5 Stunden gegen H_1:\,\mu<3{,}5 Stunden.

Der Prüfwert bleibt t\approx -2{,}55. Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn t<-t(1-\alpha,n-1) ist. Für \alpha=0{,}05 ergibt sich t(1-\alpha,n-1)=1{,}833. Da -2{,}55<-1{,}833, wird auch diese Nullhypothese abgelehnt. Damit konnte gezeigt werden, dass die durchschnittliche Akkulaufzeit kleiner als 3,5 Stunden ist.

Alternativen

Es gibt mehrere Alternativen zum Einstichproben-t-Test, abhängig von den Voraussetzungen.

Wenn der zentrale Grenzwertsatz für die Stichprobenvariablen X_i nicht erfüllt ist oder wenn er zwar erfüllt ist, der Stichprobenumfang aber kleiner gleich 30 ist, kann der nichtparametrische Einstichproben-Median-Test eingesetzt werden. Dieser testet jedoch nicht den Mittelwert, sondern ob der Median der Grundgesamtheit einem vorgegebenen Wert entspricht.

Wenn die Standardabweichung \sigma bekannt ist, sollte der Einstichproben-Gauß-Test verwendet werden.

Falls keine t-Verteilung vorliegt, kann ein Permutationstest verwendet werden.