Hyperwürfel

Begriff und Aufbau

Ein Hyperwürfel, auch Maßpolytop, ist die n-dimensionale Analogie zum Quadrat (n = 2) und zum Würfel (n = 3); n kann jede natürliche Zahl sein. Der vierdimensionale Hyperwürfel heißt Tesserakt. Seine Symmetriegruppe ist die Hyperoktaedergruppe.

Reguläre Würfel mit Kantenlänge a ≠ 0 entstehen schrittweise durch Verschieben: Verschiebt man einen Punkt um a, erhält man eine eindimensionale Strecke. Verschiebt man diese Strecke senkrecht zu ihrer Dimension um a, entsteht ein Quadrat. Wird das Quadrat senkrecht zu seinen beiden Dimensionen um a verschoben, entsteht ein dreidimensionaler Würfel. Allgemein entsteht aus einem n-dimensionalen Würfel durch eine Verschiebung um a senkrecht zu allen n Dimensionen ein (n + 1)-dimensionaler Hyperwürfel.

Grenzelemente und ihre Anzahl

Ein n-dimensionaler Hyperwürfel wird durch Elemente der Dimensionen 0 bis n − 1 begrenzt: Knoten sind 0-dimensional, Kanten 1-dimensional, Flächen 2-dimensional. Beim dreidimensionalen Würfel sind dies Punkte, Strecken und Flächen. An jedem Knoten treffen genau n Kanten zusammen; deshalb kann ein Hyperwürfel als ungerichteter Graph betrachtet werden.

Beim Übergang von Dimension n zu n + 1 verdoppeln sich die k-dimensionalen Grenzelemente, und die (k − 1)-dimensionalen Elemente werden zu k-dimensionalen erweitert. Daher gilt: kₙ₊₁ = 2kₙ + (k − 1)ₙ.

Für einen n-dimensionalen Hyperwürfel ist die Anzahl der k-dimensionalen Grenzelemente

C(n,k) · 2^(n−k),

wobei C(n,k) der Binomialkoeffizient ist. Man wählt dazu k von n Koordinatenachsen, die parallel zum Element sind; für jede Auswahl gibt es 2^(n−k) parallele Elemente. Daraus folgen insbesondere 2^n Knoten, n · 2^(n−1) Kanten und 2n (n − 1)-dimensionale Seiten. Das Schläfli-Symbol des n-dimensionalen Würfels lautet {4, 3^(n−2)}.

Jedes k-dimensionale Grenzelement mit 0 < k ≤ n ist selbst ein k-dimensionaler Würfel derselben Kantenlänge a. Ein 4-Hyperwürfel besitzt 16 Ecken und 32 Kanten; seine gesamte Kantenlänge beträgt 32a, seine Flächengesamtfläche 24a², seine 3-dimensionale Hyperfläche 8a³ und sein 4-Volumen a⁴.

Geometrische Eigenschaften

Ein Maßpolytop kann parallel zu allen Koordinatenachsen ausgerichtet werden und den euklidischen Raum durch parallele Vervielfältigung lückenlos ausfüllen. In Dimensionen n > 4 ist es das einzige regelmäßige Polytop, mit dem dies gelingt. Diese Parkettierungen sind selbstdual und haben das Schläfli-Symbol {4, 3^(n−2), 4}.

Die längste Diagonale eines Hyperwürfels hat die Länge √n · a. Maßpolytop beziehungsweise Hyperwürfel und Kreuzpolytop beziehungsweise Hyperoktaeder sind dual zueinander und besitzen daher dieselbe Symmetriegruppe.

Als Graph hat der n-Hyperwürfel n · 2^(n−1) Kanten, 2^n Knoten und 2n Seiten. Sein Grad, sein Durchmesser, sein Kanten-Zusammenhang und sein Knoten-Zusammenhang betragen jeweils n.

Hyperwürfel in Kunst und Film

In der bildenden Kunst arbeiteten unter anderem Tony Robbin, Manfred Mohr, Salvador Dalí und Kay Herrmann mit Hyperwürfeln. Robbin erzeugt durch Spiegelungen und Verdrehungen von Würfelkanten Situationen, die nur in einer hyperdimensionalen Welt möglich wären. Mohr veranschaulicht Linieninteraktionen mit einer räumlichen Logik von mehr als drei Freiheitsgraden. Dalí malte 1954 in Kreuzigung (Corpus Hypercubus) einen gekreuzigten Jesus auf das Netz eines Hyperwürfels. Herrmann schuf die Installation Hyperwürfel auf dem Siegelohplatz in Auerbach im Vogtland.

Der Film Cube 2: Hypercube handelt von einem Hyperwürfel, in dem sich Figuren in drei räumlichen Dimensionen und einer zeitlichen Dimension bewegen und sich beispielsweise selbst in einem anderen Zeitabschnitt begegnen.