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Symmetrische Relation
Die Symmetrie einer zweistelligen Relation R auf einer Menge ist gegeben, wenn aus x R y stets y R x folgt. Man nennt R dann symmetrisch.
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Begriff und Definition
Eine zweistellige Relation R auf einer Menge M heißt symmetrisch, wenn aus x R y stets y R x folgt. Formal gilt für R ⊆ M × M:
∀ x,y ∈ M: (xRy ⇒ yRx)
Die Symmetrie beschreibt also, dass eine Beziehung zwischen zwei Elementen in beide Richtungen gilt. Sie ist eine der Voraussetzungen für eine Äquivalenzrelation. Gegenbegriffe sind Antisymmetrie und Asymmetrie.
Beispiele und Gegenbeispiel
Die gewöhnliche Gleichheit = auf den reellen Zahlen ist symmetrisch: Aus x = y folgt y = x. Außerdem ist sie eine Äquivalenzrelation.
Auch die Ungleichheitsrelation ≠ auf den reellen Zahlen ist symmetrisch, denn aus x ≠ y folgt y ≠ x. Sie ist jedoch keine Äquivalenzrelation.
Die Ähnlichkeit von Dreiecken ist ebenfalls symmetrisch. Ist das Dreieck ABC zum Dreieck DEF ähnlich, so ist auch das Dreieck DEF zum Dreieck ABC ähnlich. Diese Relation ist darüber hinaus eine Äquivalenzrelation.
Bei der Kongruenz modulo m heißt eine ganze Zahl a zu einer ganzen Zahl b kongruent modulo m, wenn m eine ganze Zahl mit m ≠ 0 ist und a sowie b bei der Division durch m denselben Rest haben. Beispielsweise ist 11 zu 18 kongruent modulo 7, weil beide Zahlen bei der Division durch 7 den Rest 4 ergeben. Die Kongruenz modulo m ist symmetrisch und außerdem eine Äquivalenzrelation.
Die Kleiner-Relation < auf den reellen Zahlen ist nicht symmetrisch: Aus x < y folgt nicht y < x. Dasselbe gilt für die Kleiner-Gleich-Relation.
Darstellung als gerichteter Graph
Jede Relation R auf einer Menge M kann als gerichteter Graph dargestellt werden. Die Elemente von M sind die Knoten. Genau dann wird ein Pfeil a → b gezeichnet, wenn aRb gilt.
Eine Relation ist symmetrisch, wenn zu jedem Pfeil a → b zwischen verschiedenen Knoten gleichzeitig der Rückpfeil b → a vorhanden ist. Ein gerichteter Graph mit dieser Eigenschaft wird auch symmetrischer Graph genannt. Schleifen a → a erfüllen die Bedingung automatisch, weil Anfangs- und Endknoten identisch sind.
Wichtige Eigenschaften und Konstruktionen
Mit der konversen Relation R⁻¹ lässt sich Symmetrie durch R = R⁻¹ charakterisieren.
Ist R symmetrisch, so ist auch die komplementäre Relation Rᶜ symmetrisch. Sie ist definiert durch xRᶜy ⇔ ¬xRy. Ebenso sind Schnittmenge R ∩ S und Vereinigungsmenge R ∪ S symmetrisch, wenn R und S symmetrisch sind. Dies gilt auch für den Durchschnitt ⋂ᵢ∈I Rᵢ und die Vereinigung ⋃ᵢ∈I Rᵢ einer beliebigen nichtleeren Familie symmetrischer Relationen. Dadurch bilden die symmetrischen Relationen auf M × M die offenen Mengen eines topologischen Raums; außerdem bilden sie eine Mengenalgebra über M × M.
Der symmetrische Abschluss einer Relation R ist die kleinste symmetrische Relation S, die R umfasst. Er wird angegeben durch S := R ∪ R⁻¹.
Durch Verkettung von Relationen lassen sich die Potenzen Rⁿ bilden. Ist R symmetrisch, dann sind auch alle Potenzen Rⁿ symmetrisch.
Auf einer endlichen Menge gilt schließlich: Eine Relation ist genau dann symmetrisch, wenn ihre zugeordnete Adjazenzmatrix symmetrisch zur Hauptdiagonale ist.