Grundvorstellungen in der Mathematik – einfach erklärt

Bedeutung und Ziel des Grundvorstellungskonzepts

Grundvorstellungen sind intuitive Vorstellungen von mathematischen Begriffen, Verfahren und Ergebnissen. Sie sind für jedes mathematische Denken und Problemlösen notwendig, auch auf höherem Niveau. Vorstellungen können das Denken positiv oder negativ beeinflussen: Tragfähige Vorstellungen unterstützen das Verständnis, unpassende Vorstellungen können zu Fehlern führen.

Das Grundvorstellungskonzept wurde von Rudolf vom Hofe weiterentwickelt. Es zielt darauf, vorhandene korrekte Vorstellungen zu stärken und neue Vorstellungen durch Erfahrungen, Versuche und gegebenenfalls haptisches Hantieren aufzubauen. Mathematische Begriffe und Verfahrensweisen sollen verständnisorientiert erworben werden. Schülerinnen und Schüler sollen Inhalte nicht lediglich auf einer unverstandenen symbolischen oder verbalen Ebene „nachplappern“, sondern sich möglichst konkrete Vorstellungen machen können.

Mathematisches Grundverständnis umfasst drei wesentliche Gruppen:

Sinnkonstituierung eines Begriffs durch die Anknüpfung an bekannte Sach- und Handlungszusammenhänge beziehungsweise Handlungsvorstellungen. Als mögliche Lernzielkontrolle kann eine Schülerin zu einer neuen Aufgabe ein verwandtes, bereits verstandenes Beispiel nennen.
Aufbau visueller Repräsentationen beziehungsweise Verinnerlichungen, die operatives Handeln auf der Vorstellungsebene ermöglichen. Eine mögliche Lernzielkontrolle ist, dass die Schülerin eine Skizze anfertigen kann, die einen Ansatz und Teile des Lösungswegs veranschaulicht.
Mathematische Modellierungsfähigkeit. Eine Schülerin kann eine Sachaufgabe in eine Rechenaufgabe übersetzen, das Ergebnis als Näherungslösung interpretieren und es mit Näherungslösungen vergleichen, die auf anderen Wegen gefunden wurden.

Besonders wichtig ist die Verbindung zu Alltag und Anwendung. Ohne Anwendungssituationen bleiben mathematische Inhalte wie eine „leere Hülse“, weil Schülerinnen und Schüler ihren Sinn und mögliche Anwendungen nicht nachvollziehen. Im dritten Schritt werden Inhalte schließlich auch in unbekannten Sach- und Problemsituationen unabhängig von individuellen Erfahrungen angewendet. Als Beispiel nennt der Artikel das Bankwesen, etwa die Zinsrechnung. Bei Sach- und Textaufgaben muss auf Grundvorstellungen zurückgegriffen werden.

Ausbildung und Aspekte von Grundvorstellungen

Bei der Ausbildung von Grundvorstellungen sollen Schülerinnen und Schüler ihre subjektiven Erfahrungsbereiche, Handlungsvorstellungen und Erklärungsmodelle zu einem Sachzusammenhang bewusst erfassen. Auf dieser Grundlage klären sie vorhandene Vorstellungen und bauen neue auf. So soll Mathematik auf der Ebene von Begriffen, Verfahren und Resultaten verstanden werden.

Die mathematischen Inhalte bestimmen, welche Grundvorstellungen zu ihnen entwickelt werden. Didaktisch werden diese Inhalte in Sachzusammenhänge umgesetzt. Solche Zusammenhänge aktivieren die Lernenden und helfen ihnen, eigene Erfahrungen, Handlungsvorstellungen und Erklärungsmodelle miteinander zu verbinden.

Grundvorstellungen haben drei Aspekte:

Der normative Aspekt beschreibt, welche Vorstellungen sich Schülerinnen und Schüler zu mathematischen Inhalten machen sollten. Die Leitfrage lautet: „Welche Grundvorstellungen sind zur Lösung des Problems aus der Sicht des Lernenden adäquat?“
Der deskriptive Aspekt beschreibt die individuellen kognitiven Strukturen, die aktiviert werden. Hier wird gefragt: „Welche Vorstellungen lassen sich im Lösungsversuch des Schülers erkennen?“
Der diagnostische Aspekt untersucht: „Worauf sind etwaige Divergenzen zurückzuführen, und wie lassen sie sich beheben?“ Er dient damit dazu, Abweichungen zwischen erwarteten und tatsächlich erkennbaren Vorstellungen zu erklären und zu bearbeiten.

Funktionen und antiproportionale Zuordnungen

Eine Funktion kann auf drei Ebenen verstanden werden:

In der Zuordnungs-Vorstellung wird einer Größe x eine andere Größe f(x) eindeutig zugeordnet.
Die Änderungs-Vorstellung, auch Kovariationsvorstellung genannt, beschreibt, dass sich f(x) in einer bestimmten Weise verändert, wenn sich x verändert.
In der Objekt-Vorstellung wird eine Funktion als Ganzes und als eigenständiges Objekt betrachtet.

Für eine antiproportionale Zuordnung gelten entsprechende Grundvorstellungen:

In der Zuordnungs-Vorstellung wird einer Größe n eine andere Größe p(n) eindeutig zugeordnet.
In der Änderungs-Vorstellung verändert sich p(n), wenn sich n verändert, sodass das Produkt aus n und p(n) gleich bleibt.
In der Objekt-Vorstellung wird die antiproportionale Zuordnung als Ganzes und eigenständiges Objekt betrachtet; ihr Graph verläuft auf einer Hyperbel.

Als Beispiel nennt der Artikel eine Klassenfahrt: Für einen Reisebus wird ein Festpreis vereinbart. Wenn alle 30 Schülerinnen und Schüler mitfahren, muss jede Person 20 Euro bezahlen. Gesucht ist der Betrag pro Person, wenn nur 25 Schülerinnen und Schüler mitfahren. Die Aufgabe veranschaulicht, dass bei gleichbleibendem Gesamtpreis die Anzahl der Personen und der Betrag pro Person antiproportional zusammenhängen.

Grundvorstellungen zum Bruchbegriff

Brüche können auf unterschiedliche Weise verstanden werden:

Die Anteils-Vorstellung beschreibt einen Bruch als Teil eines Ganzen oder als Teil mehrerer Ganzer: 3/4 von einer Pizza oder 1/4 von 3 Pizzen.
Die Operator-Vorstellung versteht einen Bruch als multiplikative Rechenanweisung. So beträgt ein Gewinn 3/4 von 120 Euro; die Rechenoperation wird auf den Bruch angewendet.
Die Verhältnis-Vorstellung beschreibt einen Bruch als Verhältnis, etwa beim Mischen von Apfelsaft und Wasser im Verhältnis 3:4 zu Apfelschorle.

Grundvorstellungen können an Grenzen stoßen. Ein Beispiel ist die Frage, wie viele Bruchzahlen zwischen 1/3 und 2/3 liegen. Schülerinnen und Schüler haben dazu unterschiedliche Vorstellungen und deshalb unterschiedliche Antworten. In den entsprechenden Modellen erscheinen die Grundvorstellung „Bruchzahl als Teil eines Ganzen“ und damit eng verbunden die verbale Grundvorstellung „Bruchzahl als Quasikardinalzahl“.

Für das Rechnen mit gleichnamigen Brüchen gilt beispielsweise:

1/5 + 3/5 = 1 Fünftel + 3 Fünftel = 4 Fünftel = 4/5.

Die Vorstellung vom Bruch als Teil eines Ganzen muss durch die Grundvorstellung des Erweiterns als Verfeinerung der Einteilung ergänzt werden, damit solche Aufgaben erfolgreich gelöst werden können. Grundvorstellungen sind jedoch nicht immer vollständig: Sie können punktuell und bruchstückhaft und deshalb nur eingeschränkt tragfähig sein.

Die Zahl Null als Grundvorstellung

Die Zahl Null wird als Kardinalzahl und damit als leere Menge beziehungsweise als „nichts“ verstanden. Schülerinnen und Schüler addieren und subtrahieren meist problemlos mit 0:

2 + 0 = 2

3 − 0 = 3

Schwierigkeiten entstehen häufig bei Multiplikation, Division und schriftlichen Rechenverfahren. Eine verbreitete, zu korrigierende Schülervorstellung lautet etwa 7 · 0 = 7. Eine geeignete Erklärung ist: „Wenn ich siebenmal keine Bananen habe, habe ich keine Bananen.“ Daher gilt:

7 · 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0.

Bei Divisionen mit 0 müssen drei Fälle unterschieden werden:

0 : 5 = 0. Wenn nichts auf 5 Personen verteilt wird, erhält jede Person nichts.
5 : 0 = unmöglich. Aus 5 = x · 0 folgt, dass es keine Zahl x gibt, die die Gleichung erfüllt.
0 : 0 = vieldeutig. Aus 0 = x · 0 folgt, dass jede beliebige Zahl eingesetzt werden könnte; es gibt daher keine eindeutige Lösung.

Daraus wird die Regel formuliert: „Durch die Zahl Null darf nicht dividiert werden!“