Grundlagen der Mathematik

Gegenstand und Grundfrage

Die Grundlagen der Mathematik gehören sowohl zur Mathematik als auch zur Erkenntnistheorie, einem Teil der Philosophie, der nach den allgemeinen Grundlagen menschlicher Erkenntnis fragt. Mathematikphilosophische Überlegungen haben die Formulierung mathematischer Grundlagen mehrfach beeinflusst.

Traditionell wird Mathematik in Arithmetik und Geometrie gegliedert. Die Grundlagenfrage lautet dann: Sind dies unabhängige Erkenntnisbereiche, oder ist einer grundlegender und lässt sich der andere auf ihn zurückführen?

Von Geometrie zu Zahlen und Axiomen

In der Antike war Geometrie anschaulicher als Arithmetik; deshalb löste man viele arithmetische Probleme geometrisch. Die Pythagoreer fanden um 500 v. Chr. Gesetzmäßigkeiten von Quadratzahlen, indem sie Steinchen („Psephoi“) zu Quadraten legten und die Unterschiede zwischen den entstehenden Quadraten betrachteten. Zugleich erklärten sie Zahlen mit dem Satz „alles ist Zahl“ zur Grundlage der Dinge und damit philosophisch zur Grundlage der Mathematik.

Die systematische Grundlegung begann jedoch mit der Axiomatisierung, also dem Aufbau einer Theorie aus grundlegenden, vorausgesetzten Sätzen, der Geometrie. Euklids um 300 v. Chr. entstandene „Elemente“ waren bis zum Ende des 19. Jahrhunderts das Vorbild für die Grundlegung einer wissenschaftlichen Disziplin.

Zu Beginn der Neuzeit verlagerten Descartes’ Koordinatensystem sowie die von Newton und Leibniz entwickelte Differentialrechnung das Gewicht von der Geometrie zur Arithmetik. Das Koordinatensystem machte es möglich, geometrische Probleme algebraisch zu berechnen. Dennoch blieben die Grundlagen von Arithmetik, Algebra und Analysis ungeklärt.

Arithmetisierung der Analysis

Im 18. und frühen 19. Jahrhundert verursachte das Rechnen mit unendlich kleinen Größen Unsicherheiten in der Analysis. Umstritten war etwa, ob jede konvergente Folge stetiger Funktionen wieder gegen eine stetige Funktion konvergiert oder ob die Grenzfunktion unstetig sein kann. Es gab Beweise für beide Behauptungen, deren Fehler schwer auffindbar waren.

Im 19. Jahrhundert wurde die Analysis deshalb „arithmetisiert“: Die unklare unendlich kleine Zahl ersetzte man durch eine beliebig kleine Zahl größer Null, meist ε. Diese vor allem von Cauchy und Weierstraß vorangetriebene „Epsilontik“ machte die Analysis zu einer Theorie über reelle Zahlen und erhöhte ihre Verlässlichkeit.

Die reellen Zahlen wurden in den 1870er und 1880er Jahren genauer gefasst: Dedekind definierte eine reelle Zahl als Schnitt, Cantor als Äquivalenzklasse konvergenter Folgen. Beide Definitionen setzen jedoch einen allgemeinen Mengenbegriff und damit unendliche Mengen voraus. Kronecker kritisierte dies konstruktivistisch und verlangte eine weitergehende Arithmetisierung ohne Rede über unendliche Mengen. Cantors transfinite Mengenlehre und Freges „Grundgesetze der Arithmetik“ waren von der Russellschen Antinomie betroffen; dies führte zu Beginn des 20. Jahrhunderts in eine Grundlagenkrise.

Antworten auf die Grundlagenkrise

Der Logizismus betrachtet Logik als Grundlage der Mathematik. Sein Logikbegriff schloss mengentheoretische Begriffe ein. Mathematisches Schließen lässt sich als rein logisches Schließen darstellen; besonders wichtig ist die Prädikatenlogik erster Stufe, ein Regelsystem für logische Schlüsse.

Der Intuitionismus sieht die natürlichen Zahlen als Grundlage. Brouwers Wahlfolgentheorie zur Analysis wird als Umsetzung von Kroneckers Forderung verstanden, vollständig zu arithmetisieren und auf den Mengenbegriff zu verzichten.

Im Formalismus bilden nicht Zahlen oder logische Objekte die Grundlage, sondern die Axiome der jeweiligen Theorie zusammen mit der Prädikatenlogik. Ihre Widerspruchsfreiheit muss bewiesen werden. Dieser Beweis soll nicht innerhalb derselben formal-axiomatischen Theorie erfolgen, weil er sonst zirkulär wäre, sondern in der intuitiv gegebenen endlichen Mathematik der natürlichen Zahlen. Bei Hilbert sind die natürlichen Zahlen daher Meta-Mathematik, also ein Überbau zur Untersuchung mathematischer Theorien, und nicht unmittelbar die Grundlage wie im Intuitionismus.

Heutige Grundlagenforschung

Die formalistische Position hat sich akademisch weitgehend durchgesetzt. Die mathematische Logik behandelt Grundlagenfragen vor allem in Mengenlehre, Beweistheorie, Rekursionstheorie und Modelltheorie.

Vom Formalismus aus bedeutet eine Grundlage der Mathematik: eine axiomatische Theorie zu finden, in der alle mathematischen Begriffe definiert und alle mathematischen Sätze bewiesen werden können. Viele Mathematiker sehen das Axiomensystem der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre als diese Grundlage an; andere Mengenlehren werden weiterhin untersucht. Ebenso bleibt offen, ob eine schmalere, nur arithmetische Grundlage für die gesamte Mathematik genügt.

Die Beweistheorie untersucht solche Grundlagen und Widerspruchsfreiheitsbeweise. Die Rekursionstheorie untersucht wesentlich den Überbau der endlichen Mathematik und liefert feine Methoden für diese Beweise. Die Modelltheorie fragt, ob eine axiomatische Theorie stärker als eine andere ist und ein Modell für sie liefert. Ein Modell ist hierbei eine Struktur, in der die Sätze einer Theorie gelten. Der dreidimensionale Zahlenraum aus Descartes’ Koordinatensystem ist ein Modell des geometrischen Raumes: Alle Sätze der Geometrie lassen sich darin rechnerisch-algebraisch beweisen. Damit bestätigt sich der Eindruck der alten Griechen, dass Arithmetik stärker als Geometrie ist.