Philosophie der Mathematik

Gegenstand und Leitfragen

Die Philosophie der Mathematik ist ein Bereich der theoretischen Philosophie. Sie untersucht die Voraussetzungen, den Gegenstand, die Methode und die Natur der Mathematik. Im Mittelpunkt steht die Frage, wie mathematische Erkenntnis möglich ist und welchen Status mathematische Begriffe und Sätze besitzen.

Drei Fragengruppen sind grundlegend:

• Ontologische Fragen betreffen die Seinsweise mathematischer Objekte. Es geht darum, ob Zahlen, geometrische Figuren und Strukturen „wirklich“ und unabhängig von konkreten Verwendungen existieren, was es bedeutet, sich auf ein mathematisches Objekt zu beziehen und welchen Charakter mathematische Sätze haben. Dazu gehört auch das Verhältnis von Logik und Mathematik.
• Epistemologische Fragen betreffen Ursprung und Wesen mathematischen Wissens. Untersucht werden die Quelle mathematischer Wahrheit, die Bedingungen der mathematischen Wissenschaft, ihre Forschungsmethoden und die Rolle der menschlichen Natur.
• Fragen nach dem Verhältnis von Mathematik und Realität betreffen die Beziehung zwischen der abstrakten Welt der Mathematik und dem materiellen Universum. Dabei wird gefragt, ob Mathematik in der Erfahrung verankert ist und warum sie so gut auf Gegenstände der Wirklichkeit passt. Auch die über den innermathematischen Bereich hinausgehende Bedeutung von Begriffen wie Zahl, Punkt und Unendlichkeit gehört hierzu.

Ausgangspunkt ist fast durchgehend die Auffassung, dass mathematische Sätze apodiktisch gewiss, zeitlos und exakt sind. Ihre Richtigkeit soll weder von empirischen Ergebnissen noch von persönlichen Ansichten abhängen. Die Philosophie der Mathematik untersucht deshalb sowohl die Bedingungen der Möglichkeit solcher Erkenntnis als auch diesen Ausgangspunkt selbst.

Realismus und Platonismus

Der Realismus ist eine unter Mathematikern verbreitete Position, die unter anderem von Kurt Gödel und Paul Erdős vertreten wird. Nach ihr entstehen mathematische Gegenstände und Gesetze nicht erst im Kopf des Mathematikers. Zahlen, geometrische Figuren und Strukturen besitzen vielmehr eine vom menschlichen Denken unabhängige Existenz. Mathematik wird in diesem Sinn nicht erfunden, sondern entdeckt. Diese Auffassung erklärt den objektiven beziehungsweise interpersonellen Charakter mathematischer Erkenntnis. Der ontologische Realismus wird im Artikel als materialistische Philosophie bezeichnet.

Die klassische Form des Realismus ist der Platonismus. Er nimmt an, dass mathematische Gegenstände und Sätze unabhängig von Raum und Zeit sowie losgelöst von der materiellen Welt existieren. Sie gehören gemeinsam mit Ideen wie dem „Guten“, dem „Schönen“ oder dem „Göttlichen“ zu einer eigenständigen Ideenwelt. Das zentrale Problem lautet dann: Wie können begrenzte Menschen mathematische Objekte und Wahrheiten erkennen, wenn diese in einem solchen „Ideenhimmel“ beheimatet sind?

Kurt Gödel beantwortet diese Schwierigkeit mit dem Gedanken einer mathematischen Intuition. Sie soll ähnlich einem Sinnesorgan Teile dieser anderen Welt wahrnehmen lassen. Solche rationalen Intuitionen werden auch von vielen klassischen Rationalisten und in neueren Debatten über Rechtfertigung oder Wissen a priori, unter anderem von Laurence Bonjour, verteidigt. Aristoteles kritisierte den Platonismus in den Büchern XIII und XIV seiner Metaphysik sowie an anderen Stellen.

Logizismus

Der Logizismus wurde unter anderem von Gottlob Frege, Bertrand Russell und Rudolf Carnap begründet. Sein Ziel ist, die Mathematik vollständig auf die formale Logik zurückzuführen und sie dadurch als Teil der Logik zu verstehen. Logizisten gehen davon aus, dass mathematische Erkenntnis a priori gültig ist. Mathematische Begriffe werden aus logischen Begriffen abgeleitet oder aus ihnen konstruiert; mathematische Sätze sollen direkt aus den Axiomen der reinen Logik folgen.

Gottlob Frege versuchte in seinen Grundgesetzen der Arithmetik, das gesamte Gesetzesgebäude des Zahlenrechnens auf logische Prinzipien zurückzuführen. Diese Konstruktion erwies sich jedoch bereits vor ihrer vollständigen Veröffentlichung als brüchig. Bertrand Russell zeigte mit seiner berühmten Antinomie, dass sich aus Freges mathematischen Arbeiten Widersprüche herleiten lassen. Später wurden kompliziertere Axiomensysteme entwickelt, mit denen sich solche Widersprüche vermeiden ließen. Auf diese Weise konnten die Mengenlehre und insbesondere die Theorie der natürlichen Zahlen ohne die früheren Widersprüche begründet werden. Die dafür verwendeten Axiome ließen sich jedoch nicht im Sinne von Freges Grundgesetzen rein logisch begründen.

Die wichtigste Kritik am Logizismus lautet daher, dass er die grundlegenden Probleme der Mathematik nicht löst, sondern lediglich auf Grundlagenprobleme der Logik verschiebt.

Formalismus und Deduktivismus

Der Formalismus beschreibt Mathematik ähnlich wie ein Spiel mit einem festgelegten Regelwerk. In diesem Spiel werden Zeichenketten, englisch strings, nach bestimmten Regeln manipuliert. In der „Euklidischen Geometrie“ wird beispielsweise der Satz des Pythagoras gewonnen, indem Axiome, also bestimmte Zeichenfolgen, mithilfe logischer Schlussregeln wie Bausteine zusammengefügt werden. Mathematische Aussagen sind dann nicht mehr Wahrheiten über geometrische Figuren oder Zahlen; letztlich sind sie keine Aussagen „über irgendetwas“.

Der Deduktivismus wird häufig als Variante des Formalismus verstanden. Der Satz des Pythagoras ist danach keine absolute, sondern eine relative Wahrheit: Wenn Zeichenfolgen so interpretiert werden, dass die Axiome und Schlussregeln wahr sind, müssen auch die daraus folgenden Sätze, etwa der Satz des Pythagoras, als wahr gelten. Der Formalismus muss damit kein bedeutungsloses symbolisches Spiel bleiben. Es kann eine Interpretation geben, die beispielsweise von der Physik oder anderen Naturwissenschaften vorgegeben wird und die Regeln zu wahren Aussagen führt. Ein deduktivistischer Mathematiker kann dadurch die Verantwortung für die Interpretationen und die ontologischen Schwierigkeiten der Philosophie vermeiden.

David Hilbert strebte einen konsistenten axiomatischen Aufbau der gesamten Mathematik an. Als Ausgangspunkt wählte er die Arithmetik der natürlichen Zahlen, weil er annahm, damit ein vollständiges und widerspruchsfreies System zu besitzen. Kurt Gödels Unvollständigkeitssatz entzog dieser Auffassung kurze Zeit später den Boden. Für jedes Axiomensystem, das die Arithmetik der natürlichen Zahlen umfasst, ist dem Artikel zufolge bewiesen, dass es entweder unvollständig, nicht durch einen Computer aufzählbar oder in sich widersprüchlich ist.

Mathematik als Strukturwissenschaft

Der Strukturalismus betrachtet Mathematik vor allem als Wissenschaft allgemeiner Strukturen. Strukturen bestehen aus Relationen von Elementen innerhalb eines Systems. Zur Veranschaulichung kann die Verwaltung eines Sportvereins dienen: Ämter wie Vorstand, Kassenprüfer und Kassenwart lassen sich von den Personen unterscheiden, die diese Aufgaben übernehmen. Betrachtet man nur das Gerüst der Ämter und lässt die konkreten Personen weg, erhält man die allgemeine Struktur eines Vereins. Der Verein mit seinen jeweiligen Mitgliedern exemplifiziert, also verwirklicht oder veranschaulicht, diese Struktur.

Ebenso exemplifiziert jedes System, dessen Elemente einen eindeutigen Nachfolger haben, die Struktur der natürlichen Zahlen. Entsprechendes gilt für andere mathematische Objekte.

Zahlen werden im Strukturalismus nicht unabhängig von ihrer Gesamtheit betrachtet, sondern als Plätze innerhalb einer Struktur. Die Zwei ist demnach als natürliche Zahl ein Bezeichner für den zweiten Platz in der Struktur der natürlichen Zahlen. Sie besitzt weder von dieser Struktur losgelöste interne Eigenschaften noch eine eigene Struktur. Deshalb gibt es sowohl strukturalistische Varianten, die mathematische Objekte als existent annehmen, als auch solche, die ihre Existenz ablehnen. Die Frage nach der Existenz einzelner mathematischer Objekte wird teilweise als Kategorienfehler verstanden.

Offen bleibt jedoch, welche Eigenschaften Strukturen besitzen und wie sie existieren. Eine Struktur kann vielen verschiedenen Systemen zukommen; die Struktur einer Fußballmannschaft wird beispielsweise von Tausenden Mannschaften exemplifiziert. Daher stellt sich die Frage, ob Strukturen unabhängig von den Systemen existieren. Außerdem ist zu klären, wie Menschen Zugang zu Strukturen erhalten und etwas über sie lernen können. Als aktuelle Vertreter werden Stewart Shapiro, Michael Resnik und Geoffrey Hellman genannt.

Weitere Positionen und offene Fragen

Der von Luitzen Brouwer begründete Intuitionismus verneint die Existenz mathematischer Begriffe außerhalb des menschlichen Geistes. Er fordert konstruktive Beweise. Bei einer Existenzaussage soll also eine Konstruktion angegeben werden, statt die Existenz ohne eine solche Konstruktion zu behaupten. In der intuitionistischen formalen Logik wird deshalb der Satz vom ausgeschlossenen Dritten nicht verwendet. Eine Verallgemeinerung des Intuitionismus ist der Konstruktivismus.

Der Konventionalismus wurde von Henri Poincaré entwickelt und teilweise von logischen Empiristen wie Rudolf Carnap, Alfred Jules Ayer und Carl Hempel weiterentwickelt. Eine weitere Perspektive geht von der kategorialen Verfassung des Menschen aus und greift zugleich auf die Erkenntniskritik Immanuel Kants zurück. Daraus ergibt sich die Frage, ob sich die mathematischen Disziplinen aus grundlegenden menschlichen Kategorien ableiten lassen; im Artikel wird hierzu Ernst Kleinert genannt.

In populärwissenschaftlichen Darstellungen werden außerdem Fragen behandelt, warum Mathematik überhaupt nützlich ist und weshalb sie so gut auf die Welt passt. Diese Fragen verbinden die Philosophie der Mathematik mit dem Verhältnis zwischen mathematischen Strukturen und der Wirklichkeit.