Grenzerlös

Grundidee und Bedeutung

Der Grenzerlös, auch Grenzumsatz genannt, ist in Betriebswirtschaftslehre und Mikroökonomie der zusätzliche Umsatzerlös, der durch den Verkauf einer weiteren Mengeneinheit entsteht. Wie bei anderen Grenzgrößen, zum Beispiel Grenzkosten, Grenznutzen oder Grenzprodukt, geht es also um den Zuwachs durch eine zusätzliche Einheit einer wirtschaftlichen Größe.

Die Entwicklung des Grenzerlöses hängt besonders von der Preispolitik, der Nachfragefunktion und der Preiselastizität ab. Die Nachfragefunktion beschreibt den Zusammenhang zwischen Preis und nachgefragter Menge. Die Preiselastizität gibt an, wie stark die Nachfrage auf Preisänderungen reagiert. Der Grenzerlös ist wichtig, weil Unternehmen mit seiner Hilfe entscheiden können, welche Absatzmenge ihren Gewinn maximiert.

Berechnung

Mathematisch ergibt sich der Grenzerlös als erste Ableitung der Erlösfunktion nach der Anzahl der verkauften Mengeneinheiten. Die Erlösfunktion beschreibt, welcher Umsatz bei einer bestimmten Absatzmenge erzielt wird. Die erste Ableitung gibt die Steigung dieser Erlösfunktion an und zeigt damit, wie stark sich der Erlös bei einer zusätzlichen, sehr kleinen Mengenänderung verändert.

Die Grenzerlöskurve liegt unterhalb der Preisabsatzkurve. Die Preisabsatzkurve zeigt, zu welchem Preis eine bestimmte Menge abgesetzt werden kann. Die funktionale Beziehung zwischen Absatzmenge und Grenzerlös wird als Grenzerlösfunktion bezeichnet.

Gewinnmaximierung allgemein

Wenn ein Unternehmen Gewinnmaximierung anstrebt, ergibt sich der Gewinn G aus der Differenz von Erlösen E und Kosten K:

G = E - K.

Zur Gewinnmaximierung wählt ein Unternehmen den Output, bei dem die Differenz zwischen Erlös und Kosten am größten ist. Dafür muss es seine Marktform kennen, weil sich Preisbildung und Handlungsmöglichkeiten je nach Marktform unterscheiden. Zentral ist die Beziehung zwischen Grenzerlös E' und Grenzkosten K'. Grenzkosten sind die zusätzlichen Kosten, die durch die Produktion einer weiteren Einheit entstehen.

Polypol und Monopol

Im Polypol herrscht vollkommene Konkurrenz zwischen den Anbietern. Der Preis eines Produkts gilt für das einzelne Unternehmen als gegeben, weil es ihn nicht beeinflussen kann. Der Grenzerlös entspricht dann dem Preis P:

E' = ∂E/∂X = (PX)' = P + X · P' = P, weil P' = 0.

Für Wettbewerbsunternehmen gilt kurzfristig die Gewinnmaximierungsbedingung:

G' = 0 ⇒ K' = E' = P.

Grenzkosten, Grenzerlös und Preis sind also identisch. Da der Preis für den Polypolisten nicht beeinflussbar ist, kann er die Gewinnmaximierung nur über die Absatzmenge steuern. Er verhält sich als Mengenanpasser.

Im Monopol hat der Anbieter wegen seiner starken Marktmacht mehr Einfluss auf den Preis. Er bestimmt den Schnittpunkt von Grenzerlöskurve und Grenzkostenkurve und erhält dadurch die gewinnmaximierende Absatzmenge im Cournotschen Punkt. Mithilfe der Nachfragefunktion legt er den dazugehörigen Preis fest. Produziert er weniger als diese Menge, spart er zwar Kosten, verliert aber mehr Erlöse aus möglichen zusätzlichen Verkäufen, sodass der Gewinn sinkt. Produziert er mehr als diese Menge, steigen zwar die Erlöse, aber die zusätzlichen Kosten übersteigen die zusätzlichen Erlöse, sodass der Gewinn ebenfalls sinkt.

Für den Monopolisten gilt die Gewinnmaximierungsbedingung:

K' = E'.

Bei einem Monopol liegt der Grenzerlös stets unter dem Preis, weil der Anbieter den Preis aller Produkte senken muss, um eine zusätzliche Einheit zu verkaufen. Bei linearer Nachfragekurve P-Q hat die Umsatzkurve die doppelte Fallrate, aber denselben Ausgangspunkt wie die Nachfragekurve. Im Cournotschen Punkt liegt die Kombination aus angebotener Menge und erzielbarem Preis, die den Erlös maximiert. Dieser Preis ist unter sonst gleichen Bedingungen höher als beim Mengenanpasser, die angebotene Menge geringer als bei vollkommener Konkurrenz.

Natürliches Monopol und Marktmodelle

Bei einem natürlichen Monopol sinken die Durchschnittskosten mit zunehmender Menge immer weiter. Durchschnittskosten sind die Kosten pro Einheit. In diesem Fall gibt es keinen Schnittpunkt zwischen Grenzkosten und Durchschnittskosten, weil die Grenzkosten immer unterhalb der Durchschnittskosten liegen. Ein natürlicher Monopolist kann seine Kosten daher nicht decken, wenn er nur zu Grenzkosten anbietet. Er muss mindestens zu Durchschnittskosten anbieten. Erst wenn die Grenzkosten über den Durchschnittskosten liegen, kann der Preis gleich den Grenzkosten gesetzt werden und dennoch alle Kosten decken.

Wenn die Grenzkosten über den Durchschnittskosten ohne Fixkosten liegen, ist das Betriebsminimum erreicht. Dann sollte der Betrieb den nächstfolgenden Auftrag annehmen. Fällt er unter diese Grenze, lohnt sich die Produktion nicht weiter, weil nicht einmal die variablen Kosten gedeckt werden. Günstiger ist es, wenn die Grenzkosten über den Durchschnittskosten einschließlich Fixkosten liegen; dann befindet sich das Unternehmen bei dieser Produktionsmenge über dem Betriebsoptimum.

In einfachen Marktmodellen gilt sowohl für Polypole als auch für Monopole, dass sich ein Marktgleichgewicht dort einstellt, wo E' = K' gilt. Der Grenzerlös ist deshalb ein wichtiger Bestandteil der Preisbildung. Johann Heinrich von Thünen bezeichnete diesen Zusammenhang als Marginalprinzip. Verwandte Konzepte der Grenznutzenschule sind unter anderem Grenzgewinn und Grenzproduktivität.

Grenzerlösfunktion und Beispiel

Die Grenzerlösfunktion ist die mathematisch formulierte Beziehung zwischen der Absatzmenge und der zugehörigen unendlich kleinen, also infinitesimalen, Veränderung des Umsatzerlöses. Wird der Preis p auf p₁ gesenkt, steigt die bisherige Absatzmenge x auf x₁, also um Δx.

Im Beispiel gilt die Preisfunktion:

p(x) = 11 - x.

Daraus ergibt sich die Erlösfunktion:

E(x) = p(x) · x = 11x - x².

Die Grenzerlösfunktion ist die Ableitung davon:

E'(x) = 11 - 2x.

Für die abgesetzten Mengen 0 bis 6 ergeben sich folgende Werte: Bei Menge 0 beträgt der Preis 11 GE, der Erlös 0 und der Grenzerlös 11. Bei Menge 1 beträgt der Preis 10 GE, der Erlös 10 und der Grenzerlös 9. Bei Menge 2 beträgt der Preis 9 GE, der Erlös 18 und der Grenzerlös 7. Bei Menge 3 beträgt der Preis 8 GE, der Erlös 24 und der Grenzerlös 5. Bei Menge 4 beträgt der Preis 7 GE, der Erlös 28 und der Grenzerlös 3. Bei Menge 5 beträgt der Preis 6 GE, der Erlös 30 und der Grenzerlös 1. Bei Menge 6 beträgt der Preis 5 GE, der Erlös 30 und der Grenzerlös -1.

Der Grenzerlös ist nicht dasselbe wie die tatsächliche Erlössteigerung zwischen zwei ganzen Stückzahlen, weil die Berechnung auf einer stetigen Funktion beruht. Bei einer Absatzmenge von 2 liegt der Grenzerlös bei 7 GE. Die tatsächliche Erlössteigerung von Menge 1 auf Menge 2 ergibt sich aber als durchschnittlicher Grenzerlös zwischen den Mengen 1 und 2: (9 GE + 7 GE) : 2 = 8 GE. Bei linearen Funktionen kann man dafür den Mittelwert der Mengen einsetzen: 11 - 2 · 1,5 = 8.

Wenn bei einem Gesamtabsatz von 2 Stück am Markt der Stückpreis von 9 GE vorgegeben ist, wird beim Verkauf einer zusätzlichen Einheit dieser Stückpreis als Grenzerlös realisiert, also ebenfalls 9 GE, wenn dieser zusätzliche Absatz nicht vorhersehbar war. Würde der Markt dagegen mit 3 Stück Absatz rechnen, ergäbe sich ein Stückpreis von 8 GE.