Goldene Regel der Mechanik

Kernidee

Die Goldene Regel der Mechanik beschreibt für einfache mechanische Beispiele eine Folge des Energieerhaltungssatzes. Galileo Galilei formulierte sie 1594 mit dem Satz: „Was man an Kraft spart, muss man an Weg zusetzen“.

Sie gilt bei Kraftwandlern wie Hebel, Flaschenzug und schiefer Ebene. Solche Vorrichtungen sollen oft eine aufzubringende Kraft, zum Beispiel die Gewichtskraft beim Anheben eines Gegenstandes, durch eine kleinere Kraft ersetzen. Das gelingt aber nicht kostenlos: Wenn die Kraft kleiner wird, muss der zurückgelegte Weg größer werden.

Arbeit und Energie

In einfachen Fällen wirkt die Kraft genau in Richtung der Bewegung, und Reibungsverluste werden vernachlässigt. Dann berechnet man die aufgewendete Arbeit W, also die Veränderung der Energie, mit der Formel:

W = F · s

Dabei ist F die Kraft und s der Weg. In Worten heißt das: „Arbeit ist Kraft mal Weg“.

Aus der Erhaltung der Gesamtenergie folgt: Wenn die Arbeit gleich bleibt, ändern sich Kraft und Weg reziprok proportional. Das bedeutet: Wird die Kraft kleiner, wird der Weg entsprechend größer. Wird die Kraft größer, wird der Weg entsprechend kleiner.

Flaschenzug

Ein Beispiel ist ein gewöhnlicher Faktorenflaschenzug mit n tragenden Seilstücken. Soll ein Gegenstand mit der Gewichtskraft FL gehoben werden, beträgt die nötige Zugkraft nur:

FZ = FL / n

Um den Gegenstand um die Höhendifferenz h zu heben, muss aber die Seillänge

s = n · h

gezogen werden. Ohne Reibungsverluste bleibt die aufzuwendende Energie gleich:

W = FZ · s = (FL / n) · n · h = FL · h

Die Verringerung der Kraft wird also genau durch eine Vergrößerung der gezogenen Seillänge ausgeglichen.

Zahlenbeispiel

Bei einer Gewichtskraft von FL = 100 N und einer Höhendifferenz von h = 0,10 m ergibt sich in den Beispielen immer dieselbe Arbeit von W = 10 J.

Bei n = 1 beträgt die Zugkraft 100 N, und man zieht 0,10 m Seil. Bei n = 2 beträgt die Zugkraft 50 N, und man zieht 0,20 m Seil. Bei n = 3 beträgt die Zugkraft 33⅓ N, und man zieht 0,30 m Seil. Bei n = 4 beträgt die Zugkraft 25 N, und man zieht 0,40 m Seil.

Hier gilt also besonders anschaulich: „Was man an Kraft spart, muss man an Seillänge zusetzen.“