Gabriels Horn

Grundidee und mathematische Beschreibung

Gabriels Horn, auch Torricellis Trompete, ist ein Rotationskörper mit einer besonderen Eigenschaft: Seine Oberfläche ist unendlich groß, sein Volumen aber endlich. Es entsteht, indem der Graph der Funktion y = 1/x für den Definitionsbereich x ≥ 1 um die x-Achse rotiert wird. Die Einschränkung x ≥ 1 vermeidet die Polstelle bei x = 0.

Das Volumen V berechnet sich mit einem uneigentlichen Integral, also einem Integral mit unendlicher oberer Grenze: V = π ∫₁^∞ 1/x² dx = π. Es ist daher endlich. Allgemein gilt für f(x) = x⁻ⁿ mit n > 1: ∫₁^∞ x⁻ⁿ dx = [1/(1-n) · x^(1-n)]₁^∞ = 1/(n-1). Diese Integrale konvergieren, das heißt, sie besitzen trotz der unendlichen Strecke einen endlichen Grenzwert.

Unendliche Mantelfläche und Maler-Paradoxon

Die Mantelfläche A von Gabriels Horn ist dagegen unendlich: A = 2π ∫₁^∞ (1/x) √(1 + 1/x⁴) dx > 2π ∫₁^∞ 1/x dx = ∞. Für die Abschätzung ist entscheidend, dass eine Stammfunktion von 1/x der natürliche Logarithmus ist. Für ein festes a gilt: ∫₁ᵃ 1/x dx = [ln x]₁ᵃ = ln a. Da ln a für a → ∞ unbeschränkt wächst, besitzt das Integral keinen endlichen Grenzwert. Deshalb ist die Mantelfläche unendlich groß.

Daraus ergibt sich das scheinbare Maler-Paradoxon: Das Horn kann wegen seines endlichen Volumens mit einer endlichen Menge Farbe gefüllt werden. Für das Bedecken einer unendlich großen Fläche wäre jedoch unendlich viel Farbe nötig. Der Widerspruch verschwindet, wenn man berücksichtigt, dass reale Farbe eine endliche Schichtdicke hat. Wird diese Dicke größer als der Radius des Horns, füllt die Farbe den gesamten Querschnitt aus. Dann wird die Farbmenge durch das Volumen und nicht mehr durch die Oberfläche bestimmt. Eine unendlich dünne Farbschicht ohne Volumen kann umgekehrt nicht mit dem Volumen des Körpers verglichen werden.