Gütefaktor

Bedeutung und Grundidee

Der Gütefaktor, auch Q-Faktor oder Güte genannt, ist eine dimensionslose Kennzahl für schwingungsfähige Systeme und Energiespeicher. Er beschreibt, wie gering die Energieverluste eines Systems sind und wie scharf eine Resonanz ausgeprägt ist. Eine hohe Güte bedeutet, dass nur ein kleiner Teil der gespeicherten Energie in thermische Energie umgewandelt wird; dadurch nimmt eine freie Schwingung nur langsam ab. Der Kehrwert des Gütefaktors heißt Verlustfaktor.

Bei einem frei schwingenden harmonischen Oszillator ist der Gütefaktor proportional zum Verhältnis der gespeicherten Energie zum Energieverlust während einer Schwingungsperiode. Der Proportionalitätsfaktor beträgt 2π. Bei einer erzwungenen Schwingung beschreibt der Gütefaktor das Verhältnis der Resonanzfrequenz zu ihrer Bandbreite.

Je nach Systemauslegung nimmt Q sehr unterschiedliche Werte an. Systeme, bei denen eine starke Dämpfung wichtig ist, etwa Stoßdämpfer, haben einen Gütefaktor um Q = 0,5; dies entspricht dem aperiodischen Grenzfall. Systeme mit hoher Frequenzstabilität besitzen dagegen hohe Gütefaktoren: Eine Stimmgabel hat ungefähr Q = 1000, ein Quarzoszillator in einer Quarzuhr ungefähr Q = 10000. Der Gütefaktor wird unter anderem bei elektrischen Netzwerken, Hohlraumresonatoren sowie mechanischen und akustischen Systemen verwendet.

Definition über die Energie

Bei der Energiedefinition gilt

Q := 2π · E/W_V = ω · E/P_V.

Dabei ist E die im System gespeicherte Schwingungsenergie, P_V die Verlustleistung und ω = 2πf = 2π/T die Kreisfrequenz. Daraus folgt

2π · E/Q = P_V T.

Dieser Ausdruck beschreibt den Anteil der Schwingungsenergie, der bei schwacher Dämpfung und ungefähr konstant bleibender Verlustleistung während der nächsten Periode dissipiert, also in andere Energieformen, insbesondere Wärme, umgewandelt wird. Bei mechanischen Schwingungen entsteht die Verlustleistung beispielsweise durch Reibung, bei elektrischen Schwingkreisen etwa durch Stromwärmeverluste.

Für freie Schwingungen wird die gedämpfte Eigenkreisfrequenz ω_d eingesetzt. Bei erzwungenen Schwingungen im eingeschwungenen Zustand verwendet man die Resonanzfrequenz ω_r. Falls E, W_V oder P_V von der Frequenz abhängen, müssen diese Größen ebenfalls bei der jeweils verwendeten Frequenz bestimmt werden.

Für schwach gedämpfte freie Schwingungen mit T ≪ τ, also einer im Vergleich zur Energierelaxationszeit τ sehr kleinen Schwingungsperiode, gilt W_V ≈ (E/τ)T. Daher folgt

Q = ωτ = 2πfτ.

In diesem Fall gibt die Oszillatorgüte bis auf den Faktor 2π an, wie viele Schwingungen während der Energierelaxationszeit stattfinden. Diese Zeit ist die Zeit, bis die Energie auf den Bruchteil 1/e gefallen ist.

Definition über Resonanzbreite

Die zweite gebräuchliche Definition setzt die Resonanzfrequenz f_r zur Resonanzbreite Δf in Beziehung:

Q := f_r/Δf = ω_r/Δω.

Die Resonanzbreite ist die Halbwertsbreite des Leistungsdichtespektrums. Im technischen Zusammenhang wird sie auch als 3-dB-Bandbreite bezeichnet. Die relative Bandbreite d ist der Kehrwert des Gütefaktors:

d = Δω/ω_r = 1/Q.

Für einen Resonanzkreis kann die Bandbreite B als Abstand zwischen oberer und unterer Grenzfrequenz geschrieben werden:

B = f_2 − f_1 = f_0/Q,

und damit

Q = f_0/B.

Die Grenzfrequenzen f_1 und f_2 sind diejenigen Frequenzen, bei denen die Spannung û beziehungsweise der Strom î auf den Faktor 1/√2 ≈ 0,707 des Maximalwertes sinken. An diesen Punkten beträgt die Leistung im Schwingkreis nur noch die Hälfte der Leistung bei der Resonanzfrequenz des verlustlosen Schwingkreises. Bei einer Pegeldarstellung entspricht dies einer Abnahme der Leistungswurzelgröße um 3 dB an den Grenzen der Bandbreite.

Für einen Schwingkreis mit Widerstand R, Induktivität L und Kapazität C gelten:

f_1 = (√(R² + 4L/C) − R)/(4πL),

f_2 = (√(R² + 4L/C) + R)/(4πL).

Die Resonanzfrequenz des idealen Schwingkreises ist mit den Grenzfrequenzen verknüpft durch

f_0 = √(f_1 f_2).

Die Energie- und die Bandbreitendefinition sind nicht exakt deckungsgleich, liefern aber bei großem Q-Faktor näherungsweise gleiche Ergebnisse.

Güte in elektrischen Schwingkreisen

Ein Reihenschwingkreis besteht aus einem Widerstand R, einer Induktivität L und einer Kapazität C in Reihenschaltung. Durch alle Bauteile fließt derselbe Wechselstrom I. Im Resonanzfall sind die Beträge der Reaktanzen gleich: |X_r| := |X_L| = |X_C|. Der Gütefaktor ist dann das Verhältnis der Blindleistung P_Q der Spule oder des Kondensators zur Wirkleistung P_W:

Q = P_Q/P_W = I²|X_r|/(I²R) = |X_r|/R = (1/R)√(L/C).

Die Resonanzkreisfrequenz und die Reaktanzen lauten

ω_r = 1/√(LC), X_L = ω_rL, X_C = −1/(ω_rC).

Ein Parallelschwingkreis enthält R, L und C parallel. Die Bauteile liegen an derselben Wechselspannung U. Auch hier wird Q im Resonanzfall als Verhältnis von Blindleistung und Wirkleistung bestimmt:

Q = P_Q/P_W = (U²/|X_r|)/(U²/R) = R/|X_r| = R√(C/L).

Diese Formel gilt nur bei schwacher Dämpfung, weil nur dann ω_r ungefähr 1/√(LC) entspricht. Bei Reihen- und Parallelschwingkreisen ist eine hohe Güte mit einer schmalen Resonanz beziehungsweise einer geringen Bandbreite verbunden.

Güte verlustbehafteter Bauteile

Bei einzelnen verlustbehafteten reaktiven Bauteilen, insbesondere Spulen und Kondensatoren, misst der Gütefaktor, wie nahe das Bauteil am idealen Verhalten liegt. Ein ideales Bauteil hätte möglichst keine inneren Verluste. Anders als beim Schwingkreis gibt es dabei keine ausgezeichnete Resonanzfrequenz: Die Frequenz wird von außen vorgegeben. Deshalb ist der Gütefaktor eines solchen Netzwerkelements frequenzabhängig.

Im einfachsten Modell werden die Verluste durch eine Reihenersatzschaltung aus dem idealen Bauteil und einem Verlustwiderstand beschrieben. Dieser wird auch als ESR (equivalent series resistance, äquivalenter Serienwiderstand) bezeichnet.

Aus der Energiedefinition folgt für das Bauteil

Q = P_Q/P_W = I²|X|/(I²R) = |X|/R.

Dabei ist X die Reaktanz und R der Verlustwiderstand. Eine hohe Spulengüte ist besonders dann erforderlich, wenn in einem Schwingkreis eine geringe Bandbreite erreicht werden soll. Bei Netzwerkelementen ist der Gütefaktor außerdem der Kotangens des Verlustwinkels.

Mechanisches System und Größenordnungen

Für ein mechanisches Federpendel, also ein Masse-Feder-System, gelten die Differentialgleichungen

m ẍ + d ẋ + kx = 0

oder

ẍ + 2δ ẋ + ω_0²x = 0.

x bezeichnet die Auslenkung aus der Ruhelage, m die Masse, d die vor allem durch Reibung bestimmte Dämpfungskonstante, k die Federkonstante, δ den Dämpfungskoeffizienten und ω_0 = √(k/m) die Eigenkreisfrequenz des ungedämpften Systems.

Ist die gespeicherte Energie E_0 = 1/2 kx_0² = 1/2 mv_0², nimmt sie im Schwingfall nach

E(t) = E_0 e^(−t/τ)

ab. Die Verlustleistung beträgt P_V = −Ė = E/τ. Für δT ≪ 1 ergibt sich mit der gedämpften Eigenkreisfrequenz ω_d = √(ω_0² − δ²) und der Energierelaxationszeit τ = 1/(2δ):

Q = ω_d · E/P_V = ω_dτ.

Typische Größenordnungen sind: aperiodischer Grenzfall Q = 0,5, elektrodynamischer Lautsprecher Q = 0,2 … 1,2, elektrischer Schwingkreis Q = 10², Pendeluhr Q = 10⁴, Schwingquarz mit 10 MHz Q = (3 … 10)·10⁵, frequenzstabilisierter Laser Q = 10⁹, supraleitender Hohlraumresonator Q = 10⁹ … 10¹¹, Cäsium-Atomuhr Q = 10¹³ und Mößbauer-Effekt bei Gammastrahlung Q = 10¹⁵.