Frequenzgang

Grundbegriff und Definition

Der Frequenzgang beschreibt bei einem linearen zeitinvarianten System (LZI-System) den Zusammenhang zwischen Eingangs- und Ausgangssignal, wenn das System sinusförmig angeregt wird. Er gibt an, wie sich Amplitude und Phase in Abhängigkeit von der Frequenz verändern. Mathematisch ist der Frequenzgang eine komplexe Funktion der Frequenz f oder der Kreisfrequenz ω.

Ein LZI-System besitzt dabei drei wesentliche Eigenschaften: Es ist linear, zeitinvariant und stabil. Stabil bedeutet hier, dass die Ausgangsschwingung bei gleichbleibender Eingangs-Anregung nicht von selbst aufklingt, beispielsweise wegen einer Resonanz.

Für das Eingangssignal

x(t) = x̂ sin(ωt + φₓ)

lautet das Ausgangssignal

y(t) = ŷ(ω) sin(ωt + φᵧ(ω)).

Wegen der Linearität bleibt die Kreisfrequenz ω unverändert. Das System verändert lediglich die Amplitude und die Phase. Der Amplituden-Frequenzgang, auch Betragsfrequenzgang genannt, ist das Verhältnis der Ausgangsamplitude zur Eingangsamplitude:

A(ω) = ŷ(ω) / x̂.

Der Phasen-Frequenzgang ist die Phasendifferenz zwischen Ausgang und Eingang:

φ(ω) = φᵧ(ω) − φₓ.

Ein typisches Beispiel ist ein PT1-Glied, etwa ein passiver Tiefpass. Bei ihm ist die Ausgangsamplitude bei höherer Frequenz kleiner.

Bode-Diagramm und Ortskurve

Zur graphischen Darstellung des Frequenzgangs dienen vor allem das Bode-Diagramm und die Ortskurve.

Im Bode-Diagramm werden Amplituden-Frequenzgang und Phasen-Frequenzgang in jeweils einem Graphen dargestellt. Die Achsen sind überwiegend logarithmisch geteilt; lediglich die Achse für die Phasenverschiebung ist nicht logarithmisch. Diese Darstellung erleichtert bestimmte Rechenoperationen: Die Multiplikation zweier Frequenzgänge entspricht einer einfachen Streckenaddition. Die Inversion eines Frequenzgangs lässt sich durch Spiegelung an der f- oder ω-Achse darstellen.

Die Ortskurve, auch Nyquist-Diagramm genannt, ist eine alternative Darstellung in der komplexen Ebene. Sie enthält im Gegensatz zum Bode-Diagramm gleichzeitig die Information über Amplitude und Phase. Die Länge des dargestellten Zeigers entspricht dem Amplitudenverhältnis, sein Argument φ der Phasenverschiebung. Verbindet man die Spitzen der für verschiedene Frequenzen betrachteten Zeiger, entsteht die Ortskurve. Dadurch kann der Frequenzgang anschaulich gemacht werden, ohne die komplexe Mathematik oder die mathematischen Transformationen vom Zeit- in den Frequenzbereich vollständig zu kennen.

Bestimmung mit der Fourier-Transformation

LZI-Systeme mit endlich vielen inneren Freiheitsgraden können im Zeitbereich durch eine lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung beschrieben werden:

y⁽ⁿ⁾ + aₙ₋₁y⁽ⁿ⁻¹⁾ + … + a₁y⁽¹⁾ + a₀y = bₘx⁽ᵐ⁾ + … + b₁x⁽¹⁾ + b₀x.

Wendet man auf diese Differentialgleichung die Fourier-Transformation an, erhält man den Frequenzgang als Bild-Funktion in der komplexen Zahlenebene. Der Frequenzgang H(jω) ist der Quotient aus der Fourier-Transformierten Y(jω) des Ausgangssignals und der Fourier-Transformierten X(jω) des Eingangssignals:

H(jω) = Y(jω) / X(jω)

= [bₘ(jω)ᵐ + … + b₁(jω) + b₀] / [(jω)ⁿ + aₙ₋₁(jω)ⁿ⁻¹ + … + a₁(jω) + a₀].

Durch Fourier-Rücktransformation des Frequenzgangs erhält man die Gewichtsfunktion beziehungsweise Impulsantwort:

g(t) = (1 / 2π) ∫₋∞⁺∞ H(jω)eʲωᵗ dω.

Der Frequenzgang kann entweder durch Real- und Imaginärteil geschrieben werden:

H(jω) = Re H(jω) + j Im H(jω),

oder durch Betrag und Phase:

H(jω) = |H(jω)|eʲφ(jω).

Der Betrag ist

|H(jω)| = √((Re H(jω))² + (Im H(jω))²),

die Phase ist

φ(jω) = arctan(Im H(jω) / Re H(jω)).

Übertragungsfunktion und experimentelle Bestimmung

Der Zusammenhang mit der Laplace-Übertragungsfunktion F(s) ergibt sich aus

s = σ + jω.

Setzt man σ = 0, geht die Laplace-Übertragungsfunktion in den Frequenzgang F(ω) über. Der Frequenzgang beschreibt deshalb keine Übergangsvorgänge, insbesondere keine Einschwingvorgänge durch Zeitkonstanten. Auch instabile, aufklingende Systeme können mit ihm nicht geeignet beschrieben werden. Die Laplace-Übertragungsfunktion ist durch den zusätzlichen Parameter σ in diesen Punkten allgemeiner.

Experimentell wird der Frequenzgang bestimmt, indem man das System mit einem Signalgenerator bei verschiedenen Frequenzen anregt und die Systemantwort misst. Bei schnellem Einschwingverhalten nach einer kleinen Frequenzänderung kann ein Wobbelgenerator eingesetzt werden, wie beispielsweise in der Nachrichtentechnik. Dieser spezielle Signalgenerator ändert seine Ausgangsfrequenz kontinuierlich.

Muss nach jeder Frequenzanregung gewartet werden, bis sich die Amplitude der Systemantwort nicht mehr verändert, ist die Messung mit einem Signalgenerator zeitaufwendiger. Dann kann das System einfacher gleichzeitig mit allen interessierenden Frequenzen angeregt werden. Der Frequenzgang lässt sich beispielsweise aus der gemessenen Impulsantwort bestimmen.

In jedem Fall ist eine zeitsynchrone Messung des Eingangssignals x und des Ausgangssignals y erforderlich.

Verwendung des Begriffs im weiteren Sinn

Im allgemeineren Sprachgebrauch kann „Frequenzgang“ auch eine andere frequenzabhängige Eigenschaft eines physikalischen Systems bezeichnen. Beispiele sind die Leistungsaufnahme, die Temperatur oder die Strahlungsleistung als Funktion der Frequenz. Üblicher ist in solchen Fällen jedoch die Formulierung „Frequenzabhängigkeit einer Leistung“.

Einer Quelle zufolge bezeichnet „Frequenzgang“ im Sprachgebrauch der Regelungstechniker außerdem das bekannte Frequenzspektrum spezieller nichtperiodischer Anregungssignale. Diese zusätzliche Verwendung wird im Artikel als Aussage einer Quelle wiedergegeben.